ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->Квадратурні формули  Ньютона – Котеса.

Численные методы в математике

Квадратурні формули  Ньютона – Котеса.

 В обчисленні часто вузли  беруться рівновіддаленими. Інтерполяційні квадратури з такими вузлами прийнято називати формулами Ньютона – Котеса в пам’ять того, що вперше вони в досканальній загальній формі були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти для них знайдені Котесом при  .

Постановка задачи   нехай деяка функція f (x) задана вузлах інтерполяції () на відрізку [ a;b] талицею значеннь:

 х0=а

    х1

   х2

...........   

 xn=b

у0=f(x0)    

у1=f(x1)    

у2=f(x2)    

 

yn=f(xn)    

 

    Необхідно знайти .

    По результату значення побудуємо багаточлен Лангранжа:

(2)   f (x)  

 Якщо q= , h – шаг інтерполяції, тоді    (2):

 

 

 f (x)                    (3)

Тоді    (4)

Використовуючи властивості інтегралу, замінимо його сумою інтегралів та поставлені множники винисемо за знак інтегралу, отримаємо

.

q=  ,  змінемо межі інтегралів  q=  q= ,тоді

 

(5)  =

Так як вузли рівновіддалені, тоді шаг  h = (вузлів n+1),  

h          (5) винесемо ba за знак суми:

 

(6)  

                                                                                    

                                                                                         Hi

Нехай  Hi =     

Hi  - називають коефіцієнтами Ньютона – Котеса. Hi  не залежать від  f (x) та є функцією тільки n (кількості вузлів інтерполяції). Тому іх можна обчислити заздалегідь  для різного числа вузлів та звести в таблицю.

       n=1

 

 H0=H1=

n=2

 H0=H2=H1=

n=3

 H0=H3=H1=H2=

n=4

 H0=H4=H1=H3=, H2=

n=5

 H0=H5=, H1=H4=, H2=H3=

n=6

 H0=H6=, H1=H5=, H2=H4=, H3=

n=7

 H0=H7=H1=H6=,H2=H5=, H3=H4=

 

Тоді формула (6):

(8)    — узагальнена формула Ньютона – Котеса.

 

 

(9)      - остатній член багаточлена Лангранжа.

   ,

 .

    Властивості  Hi

Якщо в (8) підставити  (тотожнісну одиницю).

    = ,  але = х  = ba

тоді  (ba) =,  тоді     

1)  .

2) Коефіцієнти, рівновідалені від конців відрізка  [ a;b], рівні між собою.

H1 = Hn

H2 =Hn-1

………

Hi = Hn-I+1

Тема: Принцип максимуму. Метод прогону.

Поряд із задачами Каші для звичайних диференціальних рівнянь розглядаються границі задачі. У цих задачах додаткові умови, приєднується до диференціальних рівнянь. Задаються у вигляді рівнянь, що містять комбінації значень рішення і його похідних, узятих у декількох крапках відрізка, на якому розшукується рішення.

 

11