ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->Метод заміни звичайних диференціальних рівнянь і графічних умов системою алгебраїчних рівнянь.

Численные методы в математике

Метод заміни звичайних диференціальних рівнянь і графічних умов системою алгебраїчних рівнянь.

Для граничної задачі (1) -(3) виберемо рівномірну сітку , л=0,1,…,N, ...

Диференціальне рівняння (1) будемо розглядати тільки у внутрішніх вузлах сітки, тобто будемо думати, що , л=1,2,…,N-1... Граничні умови (2), (3) розглянемо при й

Нехай в (1)    , тоді:

,      (4)

Виразимо  через значення функції y(x) у вузлах , тобто через значення .

Скористаємося інтерполяційними формулами до чисельного диференціювання.

Одержимо:

                       

 

                    (5)    

 

 

 

   

 

                      (6)

                   (7)

                 (8)

(7) і (8)  (4) ,одержимо:

                       (9)

де

 називається різницевим оператором другого порядку, а величина  - погрішність апроксимації диференціального оператора l(y) різницевим оператором  виконується умова

де M=const, те різниці операторів lh апроксимує на рішенні диференціальний оператор l з погрішністю другого порядку відносно h.

Якщо h досить мало, то з (9) маємо:

        (10)

де 

Рівність (10) називається різницевою схемою, що апроксимує рівняння l(y)=f(x).

(10) – система лінійних алгаретмічних рівнянь (N-1 рівняння), де - невідомі, їхнє число N+1.

Звернемося до граничних умов (2)і(3)

Використовуючи (6) при k=0, з (2) маємо:

             (11)

де

Використовуючи (5) при k=N, з (3) маємо:

         (12)

де

При досить малому h, R0(h) і RN(h) можна зневажити, тоді з (11) і (12) одержимо:

 

 

                        (13)

                        (14)

Оператор  й апроксимують відповідне граничні оператори  й  з погрішністю ПРО(h). Формули (10),(13),(14) утворять систему N+1 лінійних рівнянь із невідомими y0,y1,…,yN...

У методі сіток цю систему вирішують по кокому-либо чисельному алгоритмі й після цього пологоють  y(x) , k=0,1,…,N...

 

14