ГоловнаЗворотній зв'язок

Численные методы в математике

Лекція № 1

Тема: Інтерполяція функції через розділені різниці

Нехай функція y=f (x) задана своїми значеннями  y0=f (x0), y1=f (x1), …, yn=f (xn)

в нерівновідстоящих вузлах інтерполяції х0, х1,...,хn. Відношення 

назвемо розділенною різницею першого порядку

Визначемо розділені різниці другого порядку як слідуючі відношення:

Знаючи розділену різницю (к-1)-го порядку [xi; xi+1; … ; xi+k-1], можна визначити розділену різницю  к-го порядку слідуючим образом:

     

Іноді розділені різниці першого порядку позначають так:

f (x0; x1), f (x1; x2),…, f (xi; xi+1),

розділену різницю другого порядку відповідно

 f(xi; xi+1; xi+2),

тоді для розділеної різниці к-го порядку в загальному випадку використовують вираз                                        

                                                                   f(xi; xi+1; xi+k).

Складемо діагональну тадлицю розділених різниць

      xi

yi=f(xi)

[xi; xi+1]

[xi; xi+1;xi+2]

[xi; xi+1;xi+2; xi+3]

[xi; xi+1;xi+2; xi+3; xi+4]

      x0

     y0

 

 

 

 

 

 

[x0;x1]

 

 

 

      x1

      y1

 

[x0;x1;x2]

 

 

 

 

[x1;x2]

 

[x0;x1;x2;x3]

 

      x2

      y2

 

[x1;x2;x3]

 

[x0;x1;x2;x3;x4]

 

 

[x2;x3]

 

[x1;x2;x3;x4]

 

      x3

       y3

 

[x2;x3;x4]

 

 

 

 

[x3;x4]

 

 

 

      x4

       y4

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

ПРИКЛАД: Скласти таблицю розділених різниць для слідуючих значень х і у:

   х

0

1

5

10

    у

10

20

100

1100

Рішення.Користаючись безпосередньо визначенням, знаходимо розділені різниці першого порядку:

[x0; x1]=

[x1; x2]=

[x2; x3]=

Аналогічно знайдемо розділені різниці другого порядку:

[x0; x1; x2]=

[x1; x2; x3]=

Розділена різниця третього порядку

 [x0; x1; x2; x3]=

Результати обчислень зведемо в діагональну таблицю розділених різниць:

     х

      у

[xi; xi+1]

[xi; xi+1; xi+2]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3]

         0

       10

 

 

 

 

 

        10

 

 

         1

       20

 

        2

 

 

 

        20

 

      1.8

          5

      100

 

       20

 

 

 

        200

 

 

         10

     1100

 

 

 

 

Перша інтерполяційна формула Нютона для нерівновідстоящих вузлів інтерполяції

Нехай фкнкція f(x) задана значенням y0=f (x0), y1=f (x1), …, yn=f (xn) в нерівновідстоящих вузлах інтерполяції х0, х1,...,хn. Потрібно побудувати інтерполяційну формулу Н’ютона  для нерівновідстоящих вузлах інтерполяції, так щоб  в вузлах інтерполяції

  у0=Р (x0), y1=Р (x1), …, yn=Р (xn).

Побудуємо першу розділену різницю

[x; x0]=тоді

Р(х)=Р(х0)+[x; x0] (x-x0)                 (1)

Друга розділена різниця

[x; x0; x1]=

Підставемо вираз (2) в (1), одержимо

P(x)=P(x0)+[x0; x1](x-x0)+[x;x0;x1](x-x0)(x-x1)      (3)

Із визначення третьої розділеної різниці одержимо

[x;x0;x1;x2]=

Підставимо другу розділену різницю (4) в вираз (3), тоді, використовуючи третью розділену різницю, можна представити багаточлен Р(х) в наступному виді:

Р(х)=Р(х0)+[x0; x1] (x-x0)+[x0; x1; x2] (x-x0) (x-x1)+[x; x0; x1; x2] (x-x0) (x-x1) (x-x2)   (5)

Продовжуючи далі цей процес, одержимо Р(х)=Р(х0)+[x0; x1] (x-x0)+[x0; x1; x2] (x-x0) (x-x1)+...+[ x0; x1;...; xn] (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1(6)

Ця формула носить назву інтерполяційного багаточлена Н’ютона для нерівновідстоящих вузлів інтерполяції.

Перевага цієї формули по порівнянню з формулою Лагранжа складається в тому, що додавання нових вузлів інтерполяції не приводить к проведенню розрахунків заново.

 

2