ГоловнаЗворотній зв'язок

Численные методы в математике

Лекція № 2

 

Тема. Конечные разности. Формулы Ньютона.

 

Поставим следующую задачу: для функции у=f(x), заданной таблично своими значениями

y0=f(x), y1=f(x1),…,yn=f(xn)

в равноотстоящих узлах интерполяции, построить таблицу конечных разностей.

Назовём конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда конечные разности в точках x0,x1,x2,…,xn-1 определяются соответственно как

∆ y0=y1-y0= f(x1)- f(x0) = ∆ f(x0),

∆ y1= y1- y2= f(x2)- f(x1)= ∆ f (x1),

∆ y2= y3 –y2= f(x3)- f(x2)= ∆ f(x2),

…………………………………..

∆ yn-1= yn- yn-1= f(xn)- f(xn-1)= ∆ f(xn-1),

где h=const.

 В общем виде первая конечная разность запишется так:

∆ yi= yi+1- yi,

или

∆ y= ∆ f(x)= f(x+ ∆x)- f(x).  (1)

В математической литературе используются несколько обозначений конечных разностей:

∆ yi= yi+1- yi, δ yi+1/2= yi+1- yi .

Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

2 yi= ∆  yi+1- ∆ yi, δ2 yi= δ yi+1/2- δ yi-1/2, f2i=f/i+1/2-f/i-1/2 .

Первая запись второй конечной разности удобна для составления горизонтальных таблиц конечных разностей (табл. 1). Последней записью пользуются для составления диагональных таблиц конечных разностей (табл. 2). Мы будем пользоваться первым обозначением. В общем виде конечная разность n­ – ого порядка записывается так:

ny= ∆( ∆n-1y)       (2)

Таблица 1.

x

y

∆y

2y

3y

4y

5y

x0

y0

∆y0

2y0

3y0

4y0

5y0

x1=x0+h

y1

∆ y1

2 y1

3 y1

4 y1

 

x2=x0+2h

y2

∆ y2

2 y2

3 y2

 

 

x3=x0+3h

y3

∆ y3

2 y3

 

 

 

x4=x0+4h

y4

∆ y4

 

 

 

 

x5=x0+5h

y5

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

x

y

∆y

2y

3y

4y

x0

y0

 

 

 

 

 

 

∆y0

 

 

 

x1=x0+h

y1

 

2y0

 

 

 

 

∆ y1

 

3y0

 

x2=x0+2h

y2

 

2 y1

 

4y0

 

 

∆ y2

 

3 y1

 

x3=x0+3h

y3

 

2 y2

 

 

 

 

∆ y3

 

 

 

x4=x0+4h

y4

 

 

 

 

.

Для составления некоторых интерполяционных формул используют таблицы центральных разностей, отличие которых от диагональных таблиц хорошо видно из сравнения таблиц 2 и 3.

В таблице центральных разностей (Табл. 3) y0 и x0 расположены в середине столбца.

x

y

∆y

2y

3y

4y

5y

6y

………

……….

……….

………

………

………

………

…….

x -3

y -3

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ y -3

 

 

 

 

 

x -2

y -2

 

2 y-3

 

 

 

 

 

 

∆ y -2

 

3 y-3

 

 

 

x -1

y -1

 

2 y-2

 

4y-3

 

 

 

 

∆ y -1

 

3 y-2

 

5y-3

 

x0

y0

 

2 y-3

 

4y-2

 

6y-3

 

 

∆ y0

 

3 y-1

 

5y-2

 

x1

y1

 

2 y0

 

4y-1

 

 

 

 

∆ y1

 

3 y0

 

 

 

x2

y2

 

2 y1

 

 

 

 

 

 

∆ y2

 

 

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3