Численные методы в математике
Лекція № 2
Тема. Конечные разности. Формулы Ньютона.
Поставим следующую задачу: для функции у=f(x), заданной таблично своими значениями
y0=f(x), y1=f(x1),…,yn=f(xn)
в равноотстоящих узлах интерполяции, построить таблицу конечных разностей.
Назовём конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда конечные разности в точках x0,x1,x2,…,xn-1 определяются соответственно как
∆ y0=y1-y0= f(x1)- f(x0) = ∆ f(x0),
∆ y1= y1- y2= f(x2)- f(x1)= ∆ f (x1),
∆ y2= y3 –y2= f(x3)- f(x2)= ∆ f(x2),
…………………………………..
∆ yn-1= yn- yn-1= f(xn)- f(xn-1)= ∆ f(xn-1),
где h=const.
В общем виде первая конечная разность запишется так:
∆ yi= yi+1- yi,
или
∆ y= ∆ f(x)= f(x+ ∆x)- f(x). (1)
В математической литературе используются несколько обозначений конечных разностей:
∆ yi= yi+1- yi, δ yi+1/2= yi+1- yi .
Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:
∆2 yi= ∆ yi+1- ∆ yi, δ2 yi= δ yi+1/2- δ yi-1/2, f2i=f/i+1/2-f/i-1/2 .
Первая запись второй конечной разности удобна для составления горизонтальных таблиц конечных разностей (табл. 1). Последней записью пользуются для составления диагональных таблиц конечных разностей (табл. 2). Мы будем пользоваться первым обозначением. В общем виде конечная разность n – ого порядка записывается так:
∆ny= ∆( ∆n-1y) (2)
Таблица 1.
x |
y |
∆y |
∆2y |
∆3y |
∆4y |
∆5y |
x0 |
y0 |
∆y0 |
∆2y0 |
∆3y0 |
∆4y0 |
∆5y0 |
x1=x0+h |
y1 |
∆ y1 |
∆2 y1 |
∆3 y1 |
∆4 y1 |
|
x2=x0+2h |
y2 |
∆ y2 |
∆2 y2 |
∆3 y2 |
|
|
x3=x0+3h |
y3 |
∆ y3 |
∆2 y3 |
|
|
|
x4=x0+4h |
y4 |
∆ y4 |
|
|
|
|
x5=x0+5h |
y5 |
|
|
|
|
|
Таблица 2
x |
y |
∆y |
∆2y |
∆3y |
∆4y |
x0 |
y0 |
|
|
|
|
|
|
∆y0 |
|
|
|
x1=x0+h |
y1 |
|
∆2y0 |
|
|
|
|
∆ y1 |
|
∆3y0 |
|
x2=x0+2h |
y2 |
|
∆2 y1 |
|
∆4y0 |
|
|
∆ y2 |
|
∆3 y1 |
|
x3=x0+3h |
y3 |
|
∆2 y2 |
|
|
|
|
∆ y3 |
|
|
|
x4=x0+4h |
y4 |
|
|
|
|
.
Для составления некоторых интерполяционных формул используют таблицы центральных разностей, отличие которых от диагональных таблиц хорошо видно из сравнения таблиц 2 и 3.
В таблице центральных разностей (Табл. 3) y0 и x0 расположены в середине столбца.
x |
y |
∆y |
∆2y |
∆3y |
∆4y |
∆5y |
∆6y |
……… |
………. |
………. |
……… |
……… |
……… |
……… |
……. |
x -3 |
y -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ y -3 |
|
|
|
|
|
x -2 |
y -2 |
|
∆2 y-3 |
|
|
|
|
|
|
∆ y -2 |
|
∆3 y-3 |
|
|
|
x -1 |
y -1 |
|
∆2 y-2 |
|
∆4y-3 |
|
|
|
|
∆ y -1 |
|
∆3 y-2 |
|
∆5y-3 |
|
x0 |
y0 |
|
∆2 y-3 |
|
∆4y-2 |
|
∆6y-3 |
|
|
∆ y0 |
|
∆3 y-1 |
|
∆5y-2 |
|
x1 |
y1 |
|
∆2 y0 |
|
∆4y-1 |
|
|
|
|
∆ y1 |
|
∆3 y0 |
|
|
|
x2 |
y2 |
|
∆2 y1 |
|
|
|
|
|
|
∆ y2 |
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|