Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->Лекція № 2

Лекція № 2

 

Тема. Конечные разности. Формулы Ньютона.

 

Поставим следующую задачу: для функции у=f(x), заданной таблично своими значениями

y₀=f(x), y₁=f(x₁),…,y_n=f(x_n)

в равноотстоящих узлах интерполяции, построить таблицу конечных разностей.

Назовём конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда конечные разности в точках x₀,x₁,x₂,…,x_n-1 определяются соответственно как

∆ y₀=y₁-y₀= f(x₁)- f(x₀) = ∆ f(x₀),

∆ y₁= y₁- y₂= f(x₂)- f(x₁)= ∆ f (x₁),

∆ y₂= y₃ –y₂= f(x₃)- f(x₂)= ∆ f(x₂),

…………………………………..

∆ y_n-1= y_n- y_n-1= f(x_n)- f(x_n-1)= ∆ f(x_n-1),

где h=const.

 В общем виде первая конечная разность запишется так:

∆ y_i= y_i+1- y_i,

или

∆ y= ∆ f(x)= f(x+ ∆x)- f(x).  (1)

В математической литературе используются несколько обозначений конечных разностей:

∆ y_i= y_i+1- y_i, δ y_i+1/2= y_i+1- y_i .

Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

∆² y_i= ∆  y_i+1- ∆ y_i, δ² y_i= δ y_i+1/2- δ y_i-1/2, f²_i=f^/_i+1/2-f^/_i-1/2 .

Первая запись второй конечной разности удобна для составления горизонтальных таблиц конечных разностей (табл. 1). Последней записью пользуются для составления диагональных таблиц конечных разностей (табл. 2). Мы будем пользоваться первым обозначением. В общем виде конечная разность n­ – ого порядка записывается так:

∆ⁿ_y= ∆( ∆^n-1y)       (2)

Таблица 1.

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y
x0	y0	∆y0	∆2y0	∆3y0	∆4y0	∆5y0
x1=x0+h	y1	∆ y1	∆2 y1	∆3 y1	∆4 y1
x2=x0+2h	y2	∆ y2	∆2 y2	∆3 y2
x3=x0+3h	y3	∆ y3	∆2 y3
x4=x0+4h	y4	∆ y4
x5=x0+5h	y5

 

Таблица 2

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y
x0	y0
		∆y0
x1=x0+h	y1		∆2y0
		∆ y1		∆3y0
x2=x0+2h	y2		∆2 y1		∆4y0
		∆ y2		∆3 y1
x3=x0+3h	y3		∆2 y2
		∆ y3
x4=x0+4h	y4

.

Для составления некоторых интерполяционных формул используют таблицы центральных разностей, отличие которых от диагональных таблиц хорошо видно из сравнения таблиц 2 и 3.

В таблице центральных разностей (Табл. 3) y₀ и x₀ расположены в середине столбца.

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y	∆6y
………	……….	……….	………	………	………	………	…….
x -3	y -3
		∆ y -3
x -2	y -2		∆2 y-3
		∆ y -2		∆3 y-3
x -1	y -1		∆2 y-2		∆4y-3
		∆ y -1		∆3 y-2		∆5y-3
x0	y0		∆2 y-3		∆4y-2		∆6y-3
		∆ y0		∆3 y-1		∆5y-2
x1	y1		∆2 y0		∆4y-1
		∆ y1		∆3 y0
x2	y2		∆2 y1
		∆ y2
x3	y3

 

 

12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Схожі підручники

• Основи аудіту
• Учёт и аудит товарных операций
• Методы нейроинформатики
• Котельные установки промышленных предприятий
• Радіоекологія
• Основы финансовой деятельности субъектов хозяйствования