ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->Отметим  следующие свойства конечных разностей.

Численные методы в математике

Отметим  следующие свойства конечных разностей.

1. Конечная разность ∆nu суммы или разности функций u = φ+g есть сумма или разность конечных разностей функций:

nui=∆ni+gi)= ∆n φi+ ∆n gi .

2. При умножении функции на постоянный множитель конечные разности умножаются на тот же множитель.

3. Конечная разность m-го порядка от конечной разности n-го порядка равна конечной разности (m+n)-го порядка:

m(∆n y)= ∆m+n y

4. Конечные разности n-го порядка от многочлена степени n постоянны, а конечные разности (n+1)-го порядка равны нулю.

Первая интерполяционная формула Ньютона

 для равноотстоящих узлов интерполяции

Пусть функция f(x) задана значениями

y0=f(x0), y1=f(x1),…, yn=f(xn)

в равноотстоящих узлах интерполяции х010+h,…,хn= х0+nh. Требуется построить интерполяционный многочлен Рn(х) степени n такой, что

Рn0) =y0, Рn1)= y1,…, Рnn)= yn

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n+1 значениям функции f(x), многочлен Рn(х) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и в конечном счёте совпадает с многочленом, полученным по формуле Лагранжа.

Будем искать полином в виде

Рn(х)=a01(х-х0)+а2(х-х0)(х-х1)+а3(х-х0)(х-х1)(х-х2)+

…+аn(х-х0)(х-х1)…(х-хn-1).  (1)

В этом выражении нам неизвестны коэффициенты a0, а1,…, аn. Для того чтобы найти a0, положим х=х0. Тогда при подстановке х=х0 в выражение (1) все слагаемые, кроме первого, обратятся в нуль, т.е. Рn0)= a0, а значение функции в точке х0 известно из условия задачи: Рn0)= y0.Следовательно, a0= y0.

Чтобы найти коэффициент а1, составим первую конечную разность для многочлена Рn(х) в точке х. Согласно определению конечной разности, имеем

∆Рn(х)= Рn(х+h)- Рn(х)

Произведя подстановку , получим

∆Рn(х)=[ a0+а1(х-х0+h)+a2(х-х0+h) (х-х1+h)+ а3(х-х0+h) (х-х1+h) (х-х2+h)+…+ аn(х-х0+h)*

 (х-х1+h)… (х-хn-1+h)]- [ a01(х-х0)+ а2(х-х0) (х-х1)+ а3(х-х0) (х-х1) (х-х2)+…+ аn(х-х0)*

 (х-х1)… (х-хn-1)]= а1[(х-х0+h)- (х-х0)]+ а2[(х-х0+h) (х-х1+h)- (х-х0) (х-х1)]+ а3[(х-х0+h)*

 (х-х1+h) (х-х2+h)- (х-х0) (х-х1) (х-х2)]+…+ аn[(х-х0+h) (х-х1+h)… (х-хn-1+h)- (х-х0) (х-х1)… (х-хn-1)]= h а1+2 h а2 (х-х0)+3 h а3 (х-х0) (х-х1)+…+ n h аn (х-х0) (х-х1)… (х-хn-2).

Вычислим первую конечную разность многочлена Рn(х) в точке х0. Здесь также все члены, кроме первого, обратятся в нуль, и, следовательно, ∆ Рn0)= а1 h, но

∆ Рn0)= f(x1)- f(x0)= y1- y0= ∆ y0

откуда ∆ y0 = а1h и

а1=     ∆ y0/h

Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка:

2Рn(х)= Рn(х+h)- ∆Рn(х).

После преобразований получим

2Рn(х)=2! h2а2+2*3*h2а3(х-х0)+…+( n-1) nh2аn(х-х0)… (х-хn-3).

Полагаем х=х0; тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в нуль и ∆2Рn0)= ∆2 y0=2! h2а2. Отсюда

а2=∆2 y0 / 2! h2

Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х=х0, придём к общей формуле для получения коэффициентов:

аi=∆i y0/i! hi      (i=0,1,2,.., n)

где будем считать, что 0!=1 и ∆0у=у. Подставив найденные значения коэффициентов аi в выражение (1); получим первую интерполяционную формулу Ньютона

                  ∆ y0                ∆2 y0                              n y0

Рn(х)= y0+-------(х-х0)+------- (х-х0) (х-х1)+…+-------- (х-х0)… (х-хn-1)               (2)

                  1! h                 2! h2                  n! hn

 

На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде. Для этого введём переменную q=(х-х0)/ h, где h – шаг интерполяции, а q – число шагов. Тогда первая интерполяционная формула Ньютона примет следующий вид:

                  q (q-1)      q(q-1)…( q- n+1)    

Рn(х)= y0+ q ∆ y0+-------- ∆2 y0+…+----------------------- ∆n y0       (3)

                                  2!   h!

 

Формулу (3) удобно использовать для интерполирования в начале отрезка интерполяции [a,b] , где q мало о абсолютной величине.

Ели за число узлов интерполяции принять n=1, то получим формулу линейного интерполирования

Р(х)= y0+ q ∆ y0

При n=2 получим формулу параболического, или квадратичного интерполирования

                             q (q-1)

            Р2(х)= y0+ q ∆ y0+--------- ∆2 y0

                                               2

 

 

4