ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->         Вторая интерполяционная формула Ньютона

Численные методы в математике

         Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 различных значений аргумента x0,x1,…,xn, которым соответствуют значения функции

y0=f(x0), y1=f(x1),…, yn=f(xn),

а шаг интерполяции постоянен и равен h , т.е. хi+1= хi+ h (i=0,1,2,.., n-1). Построим интерполяционный многочлен вида

Рn(х)= a01(х-хn)+ а2(х-хn) (х-хn-1)+ а3(х-хn) (х-хn-1) (х-хn-2)+…+ аn(х-хn) (х-хn-1)… (х-х1).  (1)

В этом многочлене неизвестны коэффициенты a0, а1,…, аn. Их надо подобрать так, чтобы были выполнены равенства

Рn0)= y0, Рn1)= y1,…, Рnn)= yn

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

i Рnn-i)= ∆iуn-i                 (i=0,1,2,…,n)       (2)

Коэффициент a0 найдём, положив х=хn в равенстве (1):

Рnn)=уn=a0

откуда

a0= уn

Из выражения для первой конечной разности найдём а1:

∆ Рn(х)=1*hа1+2hа2 (х-хn-1)+3hа3 (х-хn-2) (х-хn-1)+…+аnnh (х-хn-1) (х-хn-2)… (х-х1).

Отсюда , полагая х=хn-1 и учитывая соотношение (2), имеем

∆ Рnn-1)= ∆уn-11h

                                      ∆уn-1

Следовательно   а1=  --------------

                                         h

Из выражения для второй конечной разности найдём а2:

2Рn(х)= 2! h2а2+2*3*h2а3(х-хn-2)+…+n( n-1) h2аn(х-х1)… (х-хn-2).

 

Полагая х=хn-2, получим

2Рnn-2)= ∆2 yn-2=2! h2а2

откуда

                                                                      ∆2 yn-2

                                                               а2=----------     

                                                                      2! h2

Методом математической индукции можно доказать, что

      ∆i yn-i

аi=----------- (i=0,1,2,…,n)

       i! hi

Подставив найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим

                  ∆уn-1                ∆2 yn-2                                                    ∆3 yn-3                                     n y0

Рn(х)=уn+----------(х-хn)+---------- (х-хn) (х-хn-1)+ --------(х-хn) (х-хn-1) (х-хn-2)+…+---------- *

           1!h         2!h2                 3!h3                                 n!hn

*(х-хn)… (х-х1)  (3)

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона.

На практике используют формулу Ньютона в другом виде. Положим  q=(х-хn)/ h; тогда

   х-хn-1      х-хn+ h      х-хn-2

----------= ----------- = q+1,  ------------ = q+2,…,

     h              h                 h

и формула (3) примет вид

 

                  q (q+1)       q(q+1)( q+2)               q(q+1)…( q+n-1)

Рn(х)= yn+ q ∆ yn-1+-------- ∆2 yn-2+…+---------------- ∆3 yn-3+…+----------------------- ∆n y0     (4)                            

                                  2!                         h! n!

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [a,b] , т.е. для интерполирования вперёд и экстраполирования назад. При интерполировании по первой формуле Ньютона q=(х-х0)/ h>0. При экстраполировании назад также используют первую интерполяционную формулу Ньютона, но в этом лучае q=(х-х0)/ h<0.

При интерполировании в конце таблицы, т.е. интерполировании назад, огда шаг интерполяции постоянен, используют вторую формулу Ньютона, где q=(х-хn)/ h<0.Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется и при экстраполировании вперед, тогда q=(х-хn)/ h>0.

              Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона

В предыдущем параграфе мы ввели оценку погрешности для интерполяционной формулы Лагранжа :

               Мn+1

      | Rn(х)| = ≤------------- |(х-х0) (х-х1)… (х-хn)|.

                          (n+1)!

Если узлы интерполяции равноотстоящие, то введя шаг h=хi+1i(i=0,1,2,…,n-1) и полагая q=(х-х0)/ h, получим оценку погрешности для первой интерполяционной формулы Ньютона:

                    q(q-1)…( q-n)

Rn(х)=hn+1---------------------- f(n+1)  (ξ) (1)

                           (n+1)!

Где точка ξ принадлежит отрезку интерполяции [х0n]. В случае экстраполяции точка ξ находится за пределами отрезка [х0n].

Аналогичным образом для второй интерполяционной формулы Ньютона с равноотстоящими узлами интерполяции, полагая q=(х-хn)/ h, получим оценку погрешности в следующем виде:

 

                       q(q+1)…( q+n)

Rn(х)=hn+1---------------------- f(n+1)  (ξ) (2)

                           (n+1)!

Где точка ξ также принадлежит отрезку интерполяции [х0n].

В практических расчётах аналитический вид функции не всегда известен.

Тогда погрешность для первой интерполяционной формулы Ньютона:

                    q(q-1)…( q-n)

Rn(х)=hn+1---------------------- ∆(n+1)  у0 (1/)

                           (n+1)!

А для второй интерполяционной формулы Ньютона

 

                    q(q+1)…( q+n)

Rn(х)=hn+1---------------------- ∆(n+1)  уn (2/)

                           (n+1)!

 

 

 

 

5