ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R(а≤х≤А, b≤у≤В) имеется одно и только одно решение х=х и у=у системы (2).

Численные методы в математике

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R(а≤х≤А, b≤у≤В) имеется одно и только одно решение х=х и у=у системы (2).

Тогда если:

1) функции φ1(х,у) и φ2(х,у) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) начальные приближения х00 и все последующие приближения уn  , хn (n=1,2,..) принадлежат R;

3) в R выполнены неравенства

         | ðφ1|    | ðφ2|

         -------+------   ≤q1<1,          

         |ðх|                                   |ðх|      (6)

 

         | ðφ1|    | ðφ2|

         -------+------   ≤q2<1,          

         |ðу|      |ðу|

 

или неравенства

         | ðφ1|    | ðφ2|

         -------+------   ≤q1<1,          

          |ðх|                                  |ðу|      (7)

 

         | ðφ1|    | ðφ2|

         -------+------   ≤q2<1,          

         |ðх|      |ðу|

 

то процесс последовательных приближений сходится к решению

х=х, у=у

Оценка погрешности n-го приближения определяется неравенстом

                М

|х-хn|+|у-уn|≤-----------(|хnn-1|+|уnn-1|)    (8)

              1-М

где М – наибольшее из чисел q1 и q2 , входящих в неравенства (6) и (7).

Сходимость метода итераций считается хорошей, если М<½; при этом М/(1-М)<1, поэтому ели в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001

Пример. Методом итераций решить систему

         sin(x-0.6)-y=1.6

         3x-cosy=0.9      (A)              

 

с точностью до е=0,001

Решение. Приведём систему к виду

             1

        х=--- cosy+0,3≡ φ1(х,у)

             3                    (Б)

        у= sin(x-0.6)-1,6≡ φ2(х,у)

 

Отделим корни графически (рис. 1) . Из графика видим, что система  (Б) имеет единственное решение, заключенное в области 0<х<0,3;-2,2<у<-1,8.

Проверим систему (Б) на сходимость итерационного процесса

 

       | ðφ1|                       | ðφ2|

      ----------  =0,           -----------   =cos(x-0.6)< cos0,3=0,2955<1;

        |ðх|                          |ðх|

         | ðφ1|        1               1                                               | ðφ2|

         -------= - ---  sinу<- ---- sin(-1,8)  =0,3246<1            -----   =0                           

         |ðу|                                     3               3                                                |ðу|       

 

Следовательно

  | ðφ1|    | ðφ2|

   -------+------   <1        

   |ðх  |      |ðх|                          

 

   | ðφ1|    | ðφ2|

   -------+------   <1         

    |ðх|       |ðу|

Условия сходимости выполняются. Последовательные приближения найдём по формулам

хn+1=1/3cosyn+0,3

у n+1= sin(x n-0.6)-1,6

Вберем х0 =0,15 и у0=-2

Вычисления удобно вести с помощью следующей таблицы

 

 

n

х n

у n

х n-0,6

sin(x n-0.6)

cosyn

1/3cosyn

0

0,15

-2

-0,45

-0,4350

-0,4161

-0,1384

1

,1616

-2,035

-0,4384

-0,4245

-0,4477

-0,1492

2

0,1508

-2,0245

-0,4492

-0,4342

-0,4382

-0,1461

3

0,1539

-2,0342

-0,4461

-0,4313

-0,4470

-0,1490

4

0,1510

-2,0313

-0,4490

-0,4341

-0,4444

-0,1481

5

0,1519

-2,0341

-0,4481

-0,4333

-0,4469

-0,1490

6

0,1510

-2,0333

-0,4490

-0,4341

-0,4461

-0,1487

7

0,1513

-2,0341

-0,4487

-0,4340

-0,4469

-0,1490

8

0,1510

-2,0340

 

 

 

 

 

Таким образом х≈0,151, у≈-2,034

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7