ГоловнаЗворотній зв'язок

Численные методы в математике

Лекція 4

Тема:Чисельне диференціювання. Формули наближеного диференціювання, засновані на інтерполяційних формулах Ньютона.

При рішенні задач часто доводиться обчислити похідну, але в багатьох практичних задачах функції задані табличний, методи діф. Числення не застосовні до дослідження таких функцій. В цьому випадку використовують чисельне диференціювання.

Постановка задачі чисельного диференціювання:

Хай функція y=f(x) на відрізку [а; b] задана табличний n+1 значеннями. Необхідно знайти аналітичний вираз похідної.

Розглянемо рівновіддалені вузли, тобто  .

Тоді для заміни функції f(x) можна скористатися інтерполяційними формулами Ньютона (для т. в нач. таб.).

(1)

          ,  (q залежить від x), тоді

(1)!

      (2)

   

Продиференцюємо рівність (2):

(3)

Продиференцюємо рівність (3):

(4)

Якщо необхідно визначити значення похідної у вузлах інтерполяції, то q=0, тоді

(5)

(6)

Якщо крапка лежить в кінці таблиці, то необхідно провести ті ж міркування для II інтерполяційної формули Ньютона

, тоді

Оцінка погрішності:

(на початку),,

(в кінці)

 

8