yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Економіка->Содержание->2.5. НОРМАЛЬНАЯ МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ: ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Эконометрика для начинающих

2.5. НОРМАЛЬНАЯ МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ: ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Рассматривая нормальную модель линейной множественной регрессии

с  ~ i. i. d. , мы установили, что оценка наименьших квадратов  неизвестного истинного значения  коэффициента при — ой объясняющей переменной имеет нормальное распределение, причем

 

Рассмотрим теперь случайную величину

получаемую путем вычитания из случайной величины  ее математического ожидания и деления полученной разности на корень из дисперсии  (т. е. путем центрирования и нормирования случайной величины ). При совершении этих двух действий мы не выходим из семейства нормальных случайных величин, получая опять же нормальную случайную величину, но только уже с другими математическим ожиданием и дисперсией. Используя упомянутые ранее свойства математического ожидания и дисперсии, находим:

так что

~

Иными словами, в результате центрирования и нормирования случайной величины  мы получили случайную величину, имеющую стандартное нормальное распределение, т. е. нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функцию распределения и функцию плотности распределения такой случайной величины обозначают, соответственно, как  и :

Для каждого значения , определим символом  число, для которого , так что если случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение, то тогда

Такое число называется квантилью уровня p стандартного нормального распределения.

 zp

 

1-p

 

Заштрихованная площадь под графиком плотности стандартного нормального распределения находится правее квантили  уровня ;

эта квантиль равна . Поэтому площадь под кривой, лежащая левее точки , равна , а заштрихованная площадь равна . Последняя величина есть вероятность того,что случайная величина , имеющая стандартное нормальное распределение, примет значение, превышающее .

Если мы возьмем какое-нибудь число  в пределах от  до , , и выделим интервал

то получим следующую картину:

 

 

 

 

 

Из симметрии функции плотности нормального распределения вытекает равенство площадей областей, заштрихованных на последнем рисунке. Но площадь правой заштрихованной области равна ; следовательно, такова же и площадь левой заштрихованной области. Это, в частности, означает, что вероятность того, что случайная величина  примет значение, не превышающее , равна , так что

Часть площади под кривой стандартной нормальной плотности, лежащая в пределах выделенного интервала, меньше единицы на сумму площадей заштрихованных областей («хвостов»), т. е. равна

Эта величина равна вероятности того, что случайная величина , имеющая стандартное нормальное распределение, примет значение в пределах указанного интервала[2]:

Но ранее мы установили, что стандартное нормальное распределение имеет случайная величина

Поэтому для этой случайной величины справедливо соотношение

так что с вероятностью, равной , выполняется двойное неравенство

т. е.

Иными словами, с вероятностью, равной 1-a, случайный интервал

накрывает истинное значение коэффициента q j. Такой интервал называется доверительным интервалом для q j с уровнем доверия (доверительной вероятностью) 1-a, или (1-a)-доверительным интервалом, или 100(1-a)-процентным доверительным интервалом для q j.

Последний рисунок был получен при значении a = 0.05. Поэтому площади заштрихованных областей («хвосты») равны 0.025, сумма этих площадей равна 0.05 , и площадь области под кривой в пределах интерваларавна 1-0.05 = 0.95. Остается заметить, что

так что случайный интервал

является 95%-доверительным интервалом для q j. Его длина

пропорциональна  — среднеквадратической ошибке (среднеквадратическому отклонению) оценки коэффициента q j.

Хотелось бы, конечно, прямо сейчас построить доверительные интервалы для коэффициентов линейной модели по каким-нибудь реальным статистическим данным. Однако этому препятствует то обстоятельство, что в выражения для дисперсий

входит не известное нам значение s 2.

 

13