ГоловнаЗворотній зв'язок

Эконометрия

2.1. Первичные измерения

 

Путсь имеется N измерений xi, i = 1,...,N случайной величины x. Это - наблюдения за случайной величиной. Предполагается, что измерения проведены в неизменных условиях (факторы, влияющие на x, не меняют своих значений), и систематические ошибки измерений исключены. Тогда различия в результатах отдельных наблюдений (измерений) связаны только с наличием случайных ошибок:

                     ,

где  - истинное значение x,

 - случайная ошибка в i-м наблюдении.

Если x и e - вектора-столбцы, соответственно, xi и ei, а  - N-компонентный вектор-столбец, состоящий из единиц, то данную модель можно записать в матричной форме:

                                                  x e.

Предполагается, что ошибки по наблюдениям не зависят друг от друга и , а их дисперсии по наблюдениям одинаковы , или в матричной форме E(ee/) = INs2 (где IN - единичная матрица размерности N). Требуется найти b и  - оценки, соответственно, b и ei. Для этого используется метод наименьших квадратов (МНК), т.е. искомые оценки определяются так, чтобы  или e/e ® min, где e вектор-столбец оценок . В результате,

                            x,  e = x1Nb,

т.е. МНК-оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое по наблюдениям. Оценка b относится к классу линейных, поскольку линейно зависит от наблюдений за случайной величиной.

В рамках сделанных предположний доказывается, что

- b является несмещенной оценкой b (b = E(b)), ее дисперсия  равна  и является минимальной на множестве линейных оценок; класс таких оценок (процедур оценивания) называют BLUE - Best Linear Unbiased Estimators;

- несмещенной оценкой s2 является

                       2 e/e .

Пусть теперь ei  распределены нормально, тогда оценка максимального правдоподобия b совпадает с b, она несмещена, состоятельна (в пределе при  совпадает с b и имеет нулевую дисперсию) и эффективна (имеет минимально возможную дисперсию), величина  имеет распределение N(0,1) и  (1-q)100-процентный доверительный интервал для b определяется как

                             ,

где e1-q - (1-q)100-процентный двусторонний квантиль нормального распределения.

Эта формула для доверительного интервала используется, если известно точное значение s .

На практике точное значение s, как правило, неизвестно, и используется другой подход.

Величина  имеет распределение  и (1-q)100-процентный доверительный интервал для b строится как

                        ,

где tN-1,1-q - (1-q)100-процентный двусторонний квантиль tN-1-распределения.

Поскольку величина b детерминирована, доверительные интервалы интерпретируются следующим образом: если процедуру построения доверительного интервала повторять многократно, то (1-q)100 процентов полученных интервалов будут содержать истинное значение b измеряемой величины.

 

 

11