ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->7.3. Оценка параметров отдельного уравнения

Эконометрия

7.3. Оценка параметров отдельного уравнения

 

Xl - N´kl-матрица наблюдений за изучаемыми переменными xl, входящими в l-е уравнение;

Xl - N-вектор-столбец наблюдений за l-й переменной x l;

 - N´(kl-1)-матрица Xl без столбца Xl наблюдений за ;

bl - kl-вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;

bl - (kl-1)-вектор-столбец bl с обратным знаком и без l-го элемента (без элемента bll = 1);

Z l - N´(n l+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами zl, входящими в l-е уравнение;

a l - (n l+1)-вектор-столбец параметров при этих факторах;

e l - N-вектор-столбец остатков e l в l-м уравнении по наблюдениям;

 или  - l-е уравнение регрессии.

Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные оценки.

Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов. С помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения. Можно записать уравнения для этой оценки. Действительно, условия

                                             

эквивалентны

                                ,

где  - kl´k-матрица, полученная из Ik вычеркиванием нужных строк;

 - аналогичная (n l+1)´(n+1)-матрица для Al.

Тогда для Bl и Al, удовлетворяющим требуемым условиям, выполняется следующее:

                      ,

и требования WHl = 0 можно записать в форме (переходя к обозначениям оценок соответствующих величин)

     ,  (т.к.  и )

                                        или     ,

где (n+1)-вектор-столбец  (l-й столбец матрицы D);

(n+1)´(kl-1)-матрица  (матрица, составленная из столбцов матрицы D, соответствующих переменным ).

Это - система уравнений для нахождения искомых параметров. Она имеет единственное решение в случае точной идентификации уравнения, т.е., если ее матрица

                                                   

квадратна, размерности n+1 и не вырождена (необходимое и достаточное условие точной идентификации уравнения).

Для сверхидентифицированного уравнения можно применить двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.

На 1-м шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы для переменных :

                                     ,

где Vl - N´(kl-1)-матрица остатков по уравнениям;

и определяются расчетные значения этих переменных (“очищенные” от ошибок):

                               .

На 2-м шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:

                                 .

Можно определить единый оператор 2М-оценивания. Поскольку

 и ,

этот оператор записывается так (1-я форма оператора):

, или в более “прозрачной” - 2-й форме (учитывая, что ):

.

Если уравнение не идентифицировано, то обращаемая матрица в данном операторе вырождена. Если уравнение точно идентифицировано, то 2М-оценка совпадет с КМ-оценкой.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть bl в уравнении X lbl = Z la l + e l оценено, и X lbl рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

                  ,

                  ,

                   .

Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна

                         , где .

Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы

                      .

(иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные).

Решение этой задачи приводит к следующим условиям:

                      ,

из которых f находится как минимальный корень соответствующего характеристического уравнения, а bl определяется с точностью до постоянного множителя (с точностью до нормировки bll = 1).

В общем случае f > 1, но . Если данное уравнение точно идентифицировано, то f = 1, и МНДО-оценки совпадают с КМ- и 2М-оценками.

Оператор

позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k - количеством эндогенных переменных в системе).

При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения; при k = 1, это - 2М-оценки; при k = f, - МНДО-оценки. 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. f > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.

 

 

35