yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share

Математическая логика

2,1. Основные понятия

Определение 2.1. Простое высказывание - это простое повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, "Киев - столица Украины" - истинное высказывание, ему приписывается значение True ("испито"). "5>10" - ложное высказывание-, оно имеет значение False (''ложно"). Вопросительные и восклицательные предложения высказываниями не являются.

Каждое    простое    высказывание    обозначают    символами    латинского алфавита,   которые   называют   пропозициональными   символами.   Сложные высказывания составляются из простых с помощью союзов "не", "и", "или", если ..., -га..", тогда и только тогда". Этим связкам соответствуют унарная операция отрицания ¬, и бинарные операции конъюнкции &, дизъюнкции v, импликации   ,    эквивалентности     .     Символы     операций     называют пропозициональными   связками.    Тогда    сложные    высказывания    можно записать в виде формулы, которую называют пропозициональной формой,

Пример. "Киек - столица Украины и самый большой город в Украине "  А&В; «Днепр впадает в Каспийское и  Черное Море»   AvB; "Если Днепр впадает в Черное море, то из Киева в Одессу можно приплыть на теплоходе"  АВ; "Киев - главный город Украины тогда и только тогда, если Киев - столица Украины"  АВ, или (AB)&(BA).

Определение 2.2.

•     Каждая пропозициональная буква есть формула.

•     Если А и В формулы, то формулами являются (¬А), (А&В), (AvB).

•    Других формул нет.

Логические связки для импликации  и эквивалентности  вводятся для сокращения записи: АВ =¬AvB =¬(А&¬В), АВ = (АВ)&(ВА).

Приписывание   пропозициональным буквам их   истинностных  значений называется    интерпретацией   формулы.    Множество    всех    интерпретаций формулы образует  таблицу истинности. Если выполнить отображения 0F, 1Т,   то   каждая   пропозициональная   связка   будет   определяться   своей таблицей   истинности,   а   каждой   формуле   алгебры   высказываний   будет соответствовать    булева    формула,    следовательно,    алгебра    высказываний является    интерпретацией    булевой    алгебры.    В    связи    с    этим    в    ней сохраняются все аксиомы, все теоремы и тавтологии булевой алгебры, в том числе представимость формул алгебры высказываний в виде СДНФ и СКНФ. Проблема разрешимости в алгебре высказываний решается тем же самым аппаратам - построением таблиц истинности. Построив формулу алгебры высказываний, мы отвлекаемся от ее содержательного смысла и оперируем только с понятиями истинности и ложности.

 

13