yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Математика і інформатика->Содержание->2.2. Логическое следование.

Математическая логика

2.2. Логическое следование.

Определение 2.3. Если А и В формулы, то говорит, что В логически следует из А, или А логически влечет В, если на всех интерпретациях, где А принимает истинное значение, В также принимает истинное значение. Это обозначается как А|=В или АВ. Если выполняется логическое следование А|=В, то формула АВ является тавтологией, что обозначается следующим образом: |=АВ

Теорема.   Логическое следование A|=B выполнимо тогда и только тогда, когда формула АВ - тавтология.

Определение 2.4. Формула В логически следует из формул А1, А2,..., Аn, если на всех тех интерпретациях, где А1, ..., Аn, принимают истинные значения одновременно, формула В также принимает истинное значение. Это обозначается так: A1,..,An||=B.

Теорема; A1,A2,….,An|=B тогда и только тогда, когда |-A1&A2&...&An В.

Если А и В - формулы, и АВ - тавтология, то говорят, что А логически эквивалентна формуле В. Это обозначается как АВ, или АВ

Пример. Проверим логическое следование: АВ, А¬В|=¬А и тавтологию: |=(А В)&(А¬В) ¬А. Обозначим ее через Ё.  Построим таблицу истинности (Табл. 2.1).

Таблица 2.1

A

B

AB

A¬B

(AB)&(A¬B)

¬A

E

F

F

T

T

T

T

T

F

T

T

T

T

T

T

T

F

F

T

F

F

T

T

T

T

F

F

F

T

Как видим, на тех наборах, на которых посылки АВ, A¬B принимают истинное значение одновременно, формула ¬A также принимает истинное значение. Следовательно, логическое следование выполняется. С другой стороны, формула(AB)&(A¬B)¬A является тавтологией, что также является доказательством выполнимости логического следования. Доказанное нами логическое следование называется правилом modus tollens АВ, А¬В|=¬A.

 

14