yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Математика і інформатика->Содержание->Глава 3. ФОРМАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ

Математическая логика

Глава 3. ФОРМАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ

3.1. Определение формальной теории.

Теория    называется    содержательной,    если    существует    какая-либо интерпретация объектов, операций, символов теории. Алгебра высказываний является    содержательной    теорией,    так    как    каждый    символ    в    ней интерпретируется    как    простое    высказывание,    истинное    или    ложное формулы также могут Сыть истинными или ложными, и, несмотря на то что мы отвлекаемся от содержательного смысла высказываний, все рассуждения ведутся в терминах истинности или ложности. В отличие от содержательных Теорий,   формальная   теория   представляет   собой   множество   символов   и отношений    между   символами,    которым    не    приписывается    никакого содержательного смысла. Вспоминая о задачах логики, можно сказать   что выражения и формулы формальной теории представляют "чистые" схемы рассуждений, которым можно придавать самый разнообразный смысл, т. е. строить различные модели теории.

Формальные теории строятся по следующим правилам.

·         Задается     счетное множество  символов,   которое.  Называется алфавитом теории.

·          Из этого множества символов строятся конечные последовательности, которые называются словами или выражениями данной теорий.

·          Из     множества     выражений    выделяют    правильно    построенные выражения - формулы.

·          Из множества формул выделяют подмножество аксиом.

·          Между формулами теории определяют отношения - правила вывода теории.

Таким образом, формальная теория является аксиоматической теорией, Правила вывода позволяют из множества аксиом выводить теоремы.

Определение З.1. Доказательством теоремы называют последовательность формул А1,...,Аn, каждая из которых является либо аксиомой, либо получена из предыдущих по правилам вывода данной теории. Последняя формула называется теоремой данной теории. Запись |-jАn означает, что Аn выводимая в теории J. Иными словами, теорема - это формула, выводимая из множества аксиом по правилам вывода.

Определение   3.2.    Выводом   формулы   Аn   на    множества   гипотез  Г называется    последовательность    формул    А1,...Аn,    каждая    на   которых является либо аксиомой, либо гипотезой из множества Г, либо получена из предыдущих по правилам вывода. Это обозначается: Г |-jАn

Свойства выводимости:

1. Если Г и Г|-В, то А|-В.

Множество   гипотез   можно   расширять,   если   формула   выводима   из' подмножества этого множества.

2. Г|-В тогда и только тогда, когда Г, такое что|-В.

3. Если |-A, Г |-В1, то Г|-А.

 

 

17