yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share

Математическая логика

ВВЕДЕНИЕ

Слово "логика" часто употребляется в обыденной речи и в науке. Что же оно означает? В толковых словарях можно встретить такие формулировки: "Логика - наука о законах мышления;" "Логика - ход рассуждений, умозаключений". Происхождение слова "логика" - греческое, от греческого "логос" - "слово", или "речь". В греческом языке оно обозначало то, что выражается в речи, т. е. мышление. Логика изучает те законы мышления, которые фиксируются в виде слов, предложений и их совокупности, т. е. в виде умозаключений. Именно в таком виде, как наука об умозаключениях, и была сформулирована логика в IV в. до н.э. древнегреческим ученым Аристотелем.

Основные понятая логики Аристотеля.

Традиционная логика Аристотеля имеет дело с понятиями. Понятия делятся на единичные и общие. Единичное понятие - это просто имя предмета. Общее понятие - это указание, свойство или совокупность свойств, которыми обладает группа предметов или предмет. Такие общие понятия образуют суждения.

Из одного или нескольких суждений могут получаться другие суждения. Например; "Сократ - человек. Все люди смертны. Следовательно, Сократ смертен". Такая цепочка суждений составляет умозаключение. Каждое умозаключение состоит из одной или нескольких посылок и следствия. Посылки - это суждения, известные до начала рассуждения. Следствие - это результат умозаключения. Очевидно, что для того, чтобы умозаключение было правильным, необходимо, чтобы правильными были посылки. Если посылки в рассуждении были ложными, то и весь вывод может оказаться неверным.

Аристотель построил множество правил вывода умозаключений (модусы), которые позволяют выводить умозаключения из одного или нескольких суждений. Аристотелева логика считала посылки истинными, если они' соответствовали действительности. В этом смысле правильным выводом является тот, который приводит к правильному заключению. Таким образом, логика Аристотеля была содержательной, т. е. основывалась на смысловом содержании посылок и следствий. Тем не менее этой традиционной аристотелевой логикой в течении многих столетий и по сей день пользуется математика.

Символическая логика

Любая математическая (аксиоматическая) теория базируется на некотором множестве постулатов или аксиом, и логике. Система аксиом образует основу теории, логика дает те правила, согласно которым из аксиом могут быть выведены теоремы. И если аксиомы формулируются очень точно и подробно, то правила логики, с помощью которых теоремы выводятся из постулатов, обычно не формулируются четко и часто непонятны человеку без специальной подготовки. Необходимость в научных, точных формулировках этих правил вывода теорем из постулатов привела к созданию символического языка. Отсюда и происходит название науки – символическая логика (математическая логика). В символической логике различные взаимоотношения между высказываниями, множествами, суждениями и т. п. выражаются на языке формул, который свободен от нелепостей и неточностей, свойственных обычному, естественному языку.

Считается, что первым рассматривал вопрос о создании символической логики Лейбниц в XVII в. В "Искусстве комбинаторики" он говорил о целесообразности введения точного научного языка со своей символикой для проведения всевозможных рассуждений. В последствие он сформулировал ряд важных понятий и близко подошел к созданию символической логики. Но э-111 идеи Лейбница, но полумили широкого распространения. Только, в 1847г. идея создания символической логики вновь привлекает внимание ученых в связи с появлением работы Дж. Буля "Математический анализ логики или опыт исчисления дедуктивных умозаключений". В 1854 г. Буль изложил, срои идеи в трактате "Исследование законов мышления, на коих и основаны математические теории логики и вероятностей". Дж. Булем была создана алгебра лотки, в которой действуют законы, схожие с законами обычной алгебры, по буквами обозначаются не числа, а предложения. Алгебра Буля явилась зародышем норой науки - математической логики. В отличие от иге логику Аристотеля называют традиционной формальной логики

В XIX иске логика бурно развивалась. Опубликованные в 1879 - 1903 г.г. работы немецкого ученого- Готлиба Фреге и исследовании итальянского математики Пеано положили начало новым направлениям в математической логике, Пеано хотел построить математику на базе логического исчисления, а Фреге работал над логическим обоснованием математической науки. Первая часть его труда "Основания арифметики" появилась в 1903 г. и в это же время произошло  одно из самых трагических явлений в истории математики - кризис основ математики,

 

3