yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share

Математическая логика

Кризисы основ математики

История математики уже знала подобные кризисы. Первый кризис произошел в V веке до н.э. Он был вызван неожиданным открытием: оказалось, что не все однородные геометрические величины соизмеримы друг с другом. Было, показано, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Это нанесло громадный ущерб учению Пифагора о величинах, которое полагалось на соизмеримость однородных геометрических величин, Пифагорова теория на много лет была отброшена как необоснованная.

Первый кризис преодолевался нелегко. Конец кризиса относится к 370 г. до н.э. и связан с именем выдающегося математика Евдокла - построенная им теория величин и учение о несоизмеримостях в основном совпадает с современной теорией иррациональных чисел, построенной Рихардом Дедекиндом в 1872 г. Этот кризис сыграл выдающуюся роль в становлении математического метода.

Открытия Ньютона и Лейбница, зарождение анализа в конце XVII в. привело ко второму кризису основ математики. Последователи Ньютона и Лейбница, увлеченные огромными практическими возможностями и силой своего метода, мало заботились о прочности его фундамента, на котором был Построен анализ, таи что не доказательства гарантировали правильность результатов, а, наоборот, справедливость результатов давала уверенность в правильности доказательств. С течением времени парадоксы и противоречия возникали все в большим количеств, пока кризис основ математики не стал для всех очевидной реальностью. Наконец, в начале Х1К о. Коши предпринял первую попытку преодолеть кризис, отбросив туманную теорию бесконечно малых, и заменил ее строгой теорией пределов. Вслед за этим Вейерштрасс осуществил так называемую арифметизацию анализа, и торой кризис основ математики был преодолен.

Третий кризис основ математики разразился совершенно неожиданно и вызван был открытием парадоксов в канторовской общей теории множеств. Поскольку большинство разделов математики использует теоретико-множественные понятия и сама теория множеств может считаться основой этих разделов, То обнаруженные парадоксы поставили под сомнение достоверность всей математической науки в целом.

Парадокс Кантора Кантор доказал, что каково бы ни было трансфинитное число, существует большее трансфинитного число и что наибольшего трансфинитного числа1 не существует. Рассмотрим теперь множество, элементами которого являются все возможные множества, Очевидно, что такое множество веек множеств содержит больше элементов, чем любое другое множество. Но если это так, то как тогда может существовать трансфинитное число, большее трансфинитного числа, которое

соответствует этому множеству?

Парадокс Б. Рассела В 1902 г. Бертран Рассел открыл новый парадокс, основанный на одном лишь определении множества.

Множества либо являются элементами самих себя, либо не являются. Так, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием, а множество всех звезд не является звездой. Множество всех звуков также является звуком. Аналогично, множество всех множеств само есть множество.

Рассмотрим   М  -   множество   всех   множеств,   являющихся   -.(элементами самих себя, и N - множество всех множеств, не являющихся алиментами самих себя. К какому же из этих двух множеств отнести множество N? Иными словами, является ли N элементом  самого себя? Если М' является элементом себя, т. е, NM, значит N является элементом М, но тогда NM, т.е. N не является элементом самого себя. Получили противоречие. С другой стороны, если N не является элементом самого себя, то N есть элемент N, а не М, и N является элементом самого себя, что опять является противоречием.

Б. Расселу принадлежит следующая популяризации парадокса. Парикмахер одной деревни обязуется брить всех тех, и только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Кик же быть самому парикмахеру? Должен ли он брить самого себя'.'

Об атом парадоксе Рассел сообщил Фреге, который перед этим только что закончил последний том своего трактата по основаниям арифметики, в основу которого была положена теория множеств. В конце второго тома Фреге подтвердил получение этого сообщения: « Закончив свой труд, ученый обнаруживает несостоятельность исходных позиций – вряд ли можно придумать что-нибудь более нежелательное. Именно в этом положении оказался я после получения письма мистера Бертрана Рассела, когда рукопись была почти готова к набору». Этими словами Фреге закончил свой двенадцатилетний труд.

 

4