yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share

Математическая логика

Преодоление парадоксов.

Наличие n теории множеств парадоксов ставит под сомнение ее правильность. Сначала выход из положения показался довольно Простым: перестроить теорию множеств, выбрав такую аксиоматику, при которой известные парадоксы не могли бы возникнуть. Такая система аксиом была предложена в 1900 г. Цермело, а затей усовершенствование Френкелем, Сколeмом, фон Нейманом, Бернайсом. Однако это не было выходом из создавшегося кризиса: устраняя известные парадоксы, этот метод yе давал объяснения им и не гарантировал отсутствия новых парадоксов.

Если внимательно рассмотреть известные нам парадоксы, то можно заметить, ч г» в каждом из них фигурирует какое-то множество S и элемент x из 5, определение которого зависит от 5.Такие определения в известном смысле являются круговыми и называются импредикативными. Поэтому было предложено исключить импредикативные определения. Однако исключить полностью такие определения из математики нельзя. Примером такого определения является определение точной  верхней границы множества - это наименьший элемент множества всех верхних границ данного множества.

Другим выходом является преодоление парадоксов  с помощью трехзначной лотки. Если утверждение "№ есть элемент самого себя" не является ни истинным, ни ложным, то можно приписать ему третье значение, например, "среднее". Однако не возникнет ли в такой логике утверждении, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

Построение формальной аксиоматической теории требует обязательного доказательства ер непротиворечивости. Оно заключается в том, что для конструктивной формальной теории необходимо показать, что из системы аксиом с помощью допустимых в этой теории правил вывода невозможно вывести противоречивую формулу вида А&-А=True. Для разрешения этой проблемы Гильберт и Бернайс построили свою "теорию доказательств" и в трактате "Основания математики" пытались построить доказательство непротиворечивости всей классической математики. Были получены доказательства непротиворечивости для некоторых простых систем, однако для формальной системы в целом проблема непротиворечивости осталась нерешенной.

В то время, как Гильберт и Бернайс напряженно работали над разрешением этой проблемы, в одном из немецких научных журналов появилась статья: "О формально неразрешимых противоречиях Рrincipia Мathematica и родственных систем". Это произошло в 1931 г. Автором ее был 25-летний математик из венского университета Курт Гедель. Эта работа • одно из величайших достижений современной логики. Гедель показал, что n отучив широкой формализован ной системы, каковой является гильбертова система, охватывающая всю классическую математику, доказательство непротиворечивости невозможно провести средствами одной лишь этой системы- Более того, Гедель доказал неполноту гильбертовой системы, т. е. обнаружил внутри системы ряд неразрешимых проблем - одной из них и является проблема непротиворечивости.

Этим было показано, что возможности аксиоматического метода ограниченны, причем даже обычная арифметика натуральных чисел не может быть полностью аксиоматизирована. Отсюда следует, что процесс математического доказательства не сводятся к использованию аксиоматического метода и возможности человеческого мышления горазда шире. Необходимо искать новые методы формализации и моделирования процессов мышления. Этой проблемой занимается научное направление, получившее название "Искусственный интеллект".

 

5