yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share

Математическая логика

Глава 1. БУЛЕВА АЛГЕБРА

1.1. Определение булевой алгебры.

Определение 1.1. Алгеброй называется любое множество объектов А (чисел, функций, матриц и прочих любых объектов), на котором задана некоторая система конечно-местных операций, т.е. функций, переменные которых принимают значения из А, и сами функции принимают значения из А.

Определение 1.2. Булевой алгеброй называется множество объектов, на котором определены одна одноместная операция ->, и две двуместные операции, называемые сложением и умножением данной алгебры (обозначим их  и ), и выделены два элемента 0 и 1, для которых выполняются следующие тождества:

1. коммутативные, или перестановочные законы:

аЬ=Ьа, аb= Ь ® а

2. дистрибутивные, или распределительные законы:

аb(Ьс)=(аb)с)        ас)=(аЬ)  (ас)

3.      а0=а                аi=а

4.      а¬а=1              а¬=0

Нетрудно показать, что алгебра всех подмножеств некоторого универсального множества II, основными операциями которой являются объединение, пересечение и дополнение, является булевой алгеброй.

Установим соответствие:

дополнение                 -                        ¬

объединение               v                         

пересечение                                    

пустое множество     Ø                      i

Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм булевой алгебры и алгебры всех подмножеств некоторого универсального множества.

Из аксиом (1) - (4) получаем:

1.     АуВ=ВуА    АВ=ВА

2.  A v (B0)=(А v B) v (А v C)

     A(B v C)=(AB) v (AC)

3.  Av Ø=A          A U=A

4. A v ¬ A=U      A¬ A= Ø        

 

 

6