Методы финансовых и коммерческих расчетов
4.6. Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей
Долгосрочные финансовые операции часто предполагают наличие двух последовательных потоков платежей. Первый характеризует вложения (затраты), второй — отдачу от них (доходы). В самом
простом варианте — это покупка в рассрочку отложенной ренты. На первом этапе идет накопление денежных средств, подпитываемое последовательными взносами, на втором — их расходование. Более сложным является инвестирование в создание производственного объекта. Второй денежный поток может следовать сразу после первого или несколько отставать от него. Иногда встречаются и более сложные схемы, когда указанные потоки платежей в некоторой части протекают одновременно.
При решении некоторых финансовых задач оба потока должны быть сбалансированы. Более подробно эта проблема применительно к оценке производственных инвестиций рассматривается в гл. 12. Здесь же остановимся на проблеме сбалансированности потоков в общем виде.
Очевидно, что баланс двух последовательных потоков имеет место при равенстве их современных стоимостей. Введем следующие обозначения: n — продолжительность периода вложений; t — срок, после которого начинается отдача; N — продолжительность потока доходов; m — продолжительность интервала между двумя потоками; K — величина члена первого потока; R — размер дохода;
A1 — современная стоимость потока вложений; tА2 — современная стоимость потока доходов. Схематично условия задачи представлены на рис. 4.5. Очевидно, что t ≥ n, m ≥ 0.
Рассмотрим одну из возможных постановок задачи, когда в качестве заданных принимают параметры потока доходов, а параметры инвестиционного потока определяются в ходе расчета. Исходное равенство имеет вид:
A1 = tA2
Для иллюстрации метода ограничимся самой простой задачей. Допустим, что речь идет об обеспечении поступлений регулярного дохода. Доходы и взносы постоянные, постнумерандо. В этом случае запишем равенство
Kan;i = RaN;ivt.
Далее рассчитывается K или n.
Заметим, что vt = vnvm, отсюда следует, что с увеличением m уменьшается необходимая для выплаты будущих доходов величина K.
Пример 4.21. Необходимо обеспечить годовую ренту постнумерандо, выплачиваемую сразу после окончания срока взносов. Рента имеет параметры: R2 = 1, N = 10, i = 10%. Допустим, предполагается вносить по 1,2 млн. руб. в течение четырех лет. Проверим, достаточен ли такой срок.
Современная стоимость второй ренты A2 = 1 х a10;10 x v4 = = 4,19682. В свою очередь, приняв A1 = A2, получим A1/R1 = = 3,49735. Прибегнув к формуле (4.27), находим
Иначе говоря, установленный срок взносов недостаточен. Корректировку условий можно осуществить, повысив размер взносов. Находим для четырех лет взносов
Если второй поток представляет собой p-срочную ренту, то
Практические приложения метода более подробно обсуждаются в параграфе 6.5 "Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий" и в гл. 12, посвященной инвестициям.
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73