yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Фінанси->Содержание->5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Методы финансовых и коммерческих расчетов

5.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относительным приростом, т.е. в геометрической прогрессии. Поток таких платежей состоит из членов R, Rq, Rq2, ..., Rqn-1 (где q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту постнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv2, ..., Rqn-1vn. Получена геометрическая прогрессия с первым членом Rv и знаменателем qv. Сумма членов этой прогрессии равна:

 (5.14)

Пусть теперь q = 1 + k, где kтемп прироста платежей. Заметим, что прирост может быть как положительным (k > 0), так и отрицательным (k < 0). После простых преобразований получим:

 (5.15)

Наращенная сумма ренты находится как

 (5.16)

Пример 5.3. Несколько изменим условия задачи 5.1. Пусть теперь члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (k = 0,12). В этом случае:

 = 93,448 млн руб.;

 = 578,604 млн руб.

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом прироста минус 10% в год (k = -0,1), тогда:

S = 47,184 x 1,210 =292,151 млн. руб.

Для рент пренумерандо получим:

Влияние изменения платежей установить в виде простой зависимости от q не удается, поэтому определим его как разность соответствующих современных стоимостей или наращенных сумм.

Пример 5.4. Современная стоимость ренты с учетом ежегодного прироста на 10% в примере 5.3 равна 93,448 млн. руб. Современная стоимость постоянной ренты (без приростов ее членов) — 62,887 млн. руб. Таким образом, влияние приростов платежей определяется как 93,448 - 62,887 = 30,561 млн. руб.

Представляет некоторый практический интерес соотношение эквивалентности между абсолютным и относительным приростом членов рент. Технически удобнее найти такое значение абсолютного прироста а, при котором величина современной стоимости равна Aq при заданном значении q. Методику получения искомого показателя нетрудно понять при рассмотрении рис. 5.2.

Из равенства показателей современных стоимостей потоков платежей с постоянными абсолютными и относительными приростами Аа = Аq следует:

Отсюда:

 (5.17)

Пример 5.5. В примере 5.3 при ежегодном относительном приросте платежей, равном 12%, современная стоимость потока платежей составляет 93,448 млн. руб. Какой должен быть ежегодный абсолютный прирост, который не изменит величину современной стоимости? Согласно формуле (5.17) получим:

Иначе говоря, ежегодный прирост платежей в сумме 2,371 млн. руб. эквивалентен (если принять во внимание весь срок) относительному приросту, равному 12%. Сказанное справедливо при условии, что все остальные условия сохраняются (R = 15, n = 10,

i = 20%).

p-срочная рента с постоянными относительными изменениями членов.

Пусть платежи производятся не один, a p раз в год постнумерандо, проценты начисляются раз в год по ставке i. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию: R, Rq, ..., Rqn-1, где q — темп роста за период. Начислим проценты и суммируем результат, получим:

 (5.18)

Для современной величины такой ренты находим:

 (5.19)

Пример 5.6. Пусть, как и в других примерах главы, R = 15, n = 10, i = 20%. Предположим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты составят:

 =1263,052 млн руб.;  = 203,990 млн руб.

 

34