yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Фінанси->Содержание->5.3. Непрерывные переменные потоки платежей

Методы финансовых и коммерческих расчетов

5.3. Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные потоки платежей. Однако там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какому-либо закону.

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Rt = f(t), то общая сумма поступлений за время n равна

В этом случае наращенная сумма (при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста) находится как

Современная стоимость такого потока определяется как

Для того чтобы рассчитать величины A и S, необходимо определить конкретный вид функции потока платежей и значения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить исходя из соотношения:

 (5.20)

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функция потока:

Rt = R0 + at,

где r0 — начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:

 (5.21)

где  — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. формулу (4.48)).

Первый вариант записи результата интегрирования наглядно демонстрирует влияние начального размера платежа и приростов.

Пример 5.7. Намечается в течение трех лет увеличивать ежегодно выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска — 10 млрд. руб. Необходимо определить суммарный стоимостный объем выпуска с начислением процентов — сила роста 8%.

Для начала определим современную стоимость данного непрерывного потока поступлений:

 = 2,66715; A = 30,5 млн. руб. Затем находим наращенную сумму S = 30,5 х е0,08x3 = 38,8 млн. руб.

Практически важной является проблема оценки размера процентной ставки, если заданы все остальные параметры потока платежей. Оценка осуществляется с помощью метода Ньютона - Рафсона (см. формулу (4.41)). Необходимые для этого функции имеют следующий вид:

 (5.22)

 (5.23)

Функция (5.22) получена путем простого преобразования (5.21); функция (5.23) производная от (5.22).

Пример 5.8. Капиталовложения составят 1000 млн. руб., начальная отдача от них оценивается в сумме 300 млн. руб. в год. Предполагается, что отдача будет непрерывно увеличиваться в течение всего периода эксплуатации (пять лет) по 10 млн. в год. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста и годовой процентной ставки?

По условиям задачи: A = 1000, R = 300, а = 10, п = 5. Пусть первая оценка силы роста 17%. По формулам (5.22) и (5.23) находим f (0,17) = 14,08; f' (0,17) =-525. Отсюда:

Проверка: по формуле (5.21) получим A = 1021. Иначе говоря, ставка несколько занижена. Выполним еще одну итерацию: f (0,197) = 4,1; f' (0,197) = 654.

Из этого следует:

В этом случае A = 1000. Показатель доходности в виде годовой ставки сложных процентов i = e0,2033 - 1 = 0,2254, или 22,33% годовых.

Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей:

Rt = R x eqt, (5.24)

где qнепрерывный темп прироста платежей.

Современная величина такой ренты определяется следующим образом:

 (5.25)

Нетрудно найти зависимость непрерывных и дискретных темпов прироста и процентных ставок:

 (5.26)

Пример 5.9. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R = 100, i = 7%, n = 3 года. Из условий задачи следует:

Таким образом,

 = 291,5;

S = A(l + i)3 = 291,5 х 1,073 = 357,17.

 

35