ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Фінанси->Содержание->5.5. Изменения параметров ренты

Методы финансовых и коммерческих расчетов

5.5. Изменения параметров ренты

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой. Если такая замена базируется на принципе финансовой эквивалентности, то из этого следует равенство современных стоимостей обеих рент (разумеется, при одинаковой процентной ставке, принятой для дисконтирования). Отправляясь от этого равенства, нетрудно определить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R1, n1 Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с параметрами R2, n2, t (t не входит в срок ренты). Пусть процентная ставка равна i.

Здесь возможны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется R2, и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии, что n2 = n1 = n. Для этого случая справедливо следующее равенство:

A1 = A2; R1an;i = R2an;ivt.

Отсюда

 (5.32)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время t члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда n2 n1 из равенства A1 = A2 следует:

 (5.33)

где tпродолжительность отсрочки.

Пример 5.12. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями R1 = 2 млн. руб. и сроком восемь лет откладывается на два года без изменения срока самой ренты, процентная ставка, принятая для пролонгирования, - 20% годовых. Тогда согласно формуле (5.32):

R2 = 2 x 1,22 = 2,88 млн. руб.

Если же срок ренты увеличивается, скажем, еще на три года (n = 11), тогда при условии, что i = 20%:

 = 2,55393 млн. руб.

Рассмотрим еще один вариант. Пусть член ренты остается без изменений. Однако выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства

находим

 (5.34)

Пример 5.13. Рента с условиями R = 2000 тыс. руб., n = 5 лет, i = 8% откладывается на три года без изменения ее члена. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (5.34) получим:

n2 = = 6,689 года.

Примем продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) шесть лет. Современная стоимость такой ренты равна:

A2 = Ra6;8v3 = 2000 х 4,6288 х 1,08-3 = 7339,58 тыс. руб.

Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.

Замена годовой ренты нa p-срочную. Пусть годовая немедленная рента с параметрами R1, n1 заменяется нa p-срочную с параметрами R2, n2, p. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

 (5.35)

Причем, если n2 = n1 = n, то

Отсюда

 (5.36)

Пример 5.14. Пусть r1 = 2, n1 = n2 = n. Если годовая рента пост-нумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неизменности срока ренты эквивалентность достигается только за счет корректировки размера выплат. При условии, что i = 20%, находим:

R2= = 1,86541.

Продолжим пример. Пусть п1 = 3, a n2 = 4 года. Согласно формуле (5.35) получим

Следовательно,

Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществлена и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого находим:

 (5.37)

Далее по формуле (4.31) определяется n.

Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной (безубыточной) замены рент рассматривались применительно к постоянным дискретным рентам. Однако переход от одного вида к другому возможен для любых потоков платежей. В любом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей R1, выплачиваемых спустя nt лет после начала действия контракта. Параметры заменяющей ренты: R, п. Исходное равенство имеет вид:

 (5.38)

Данное равенство дает возможность определить один из параметров ренты — R или n. Решение обратной задачи достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих это равенство.

 

37