ГоловнаЗворотній зв'язок
Главная->Фінанси->Содержание->Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа

Методы финансовых и коммерческих расчетов

Раздел 3 Практические приложения количественного финансового анализа

Глава 6. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ

6.1. Финансовые ренты в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения количественных методов анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых фигурируют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты здесь зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты cтраховыми aннуиmеmaми. К страховым, например, относятся все аннуитеты, применяемые в личном страховании. Соответствующие денежные суммы выплачиваются здесь только при жизни (например, пенсии) или, наоборот, смерти застрахованного. Заранее число платежей в таких аннуитетах или их срок остаются неизвестными. Условные аннуитеты являются основным инструментом количественного анализа в страховой деятельности.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию (premium). В свою очередь он (или его правопреемники) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления страхового события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия P определяется как

P = Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. В действительности премия обычно превышает величину Sq, так как включает помимо чистой премии и так называемую нагрузку (loading). Последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации.

Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип в страховании жизни при решении важнейшей задачи — расчете тарифной ставки. Напомним, что под тарифной ставкой понимается цена страхования, т.е. цена обязательства уплатить некоторую фиксированную сумму при наступлении страхового случая в расчете на некоторую круглую сумму страховой выплаты (1 тыс. руб., 100 тыс. руб. и т.д.).

Пусть, как и выше, P — размер премии, qn — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Речь далее пойдет о нетто-премии, т.е. премии без учета нагрузки. Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму P (пусть премии выплачиваются в начале года), если же это событие наступит во втором году, то общая сумма премий составит 2P и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит

E(q1 + 2q2 + ... + nqn).

Полученная величина хотя и обобщает все выплаты застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин нарушается принцип временной ценности денег, поскольку премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (т.е. с помощью дисконтирования платежей) находим:

Е(А) = P[q1 + (1 + v)q2 + (1 + v + v2)q3 + ... + (1 + v + ... + vn-1)qn],

где v — дисконтный множитель по ставке i.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1 во втором году — Sq2 и т.д. Математическое ожидание выплат с учетом времени платежа, очевидно, будет равно:

E(S) = S(vq1 + v2q2 + ... + vnqn).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство:

E(S) = Е(А),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии и тариф страхования без учета нагрузки. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета премии и тарифа в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то математическое ожидание суммы премий с учетом их дисконтирования за n лет составит:

Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + vn-1)]q.

В свою очередь математическое ожидание выплат страховых сумм находится как

Из равенства математических ожиданий находим размер нетто-премии и тарифной ставки.

Математические ожидания Е(А) и E(S) являются основными характеристиками, с которыми имеют дело в страховании. Они, как видим, представляют собой современные стоимости специфических потоков платежей (платежей с учетом вероятностей их выплат). Причем в имущественном страховании часто это постоянные ренты (при постоянстве вероятностей наступления страховых случаев), а в личном страховании — переменные ренты, поскольку фигурирующие здесь вероятности зависят от возраста застрахованного и меняются для него с каждым годом.

В практике актуарных расчетов (актуарии — страховые математики) разработаны специальные приемы построения упомянутых выше потоков платежей и расчета их математических ожиданий. Рассмотрим их применительно к некоторым видам личного страхования — на дожитие, страхование жизни и, наконец, пенсионное страхование, коль скоро оно сейчас привлекает всеобщее внимание.

До обсуждения проблем построения страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей (life annuity), и их использования в страховых расчетах следует ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.

Таблицы смертности и коммутационные функции. Выше уже было показано, что при разработке страховых потоков платежей необходимы значения вероятностей дожития до определенного возраста или, наоборот, смерти в каком-то возрасте. Систему таких характеристик получают на основе таблицы смертности (mortality table), которая представляет собой числовую модель процесса вымирания некой абстрактной совокупности людей. Основное ее содержание — количества людей каждого возраста (lx) , оставшихся в живых из первоначальной совокупности, равной 100 тыс. человек, и число умерших в каждой возрастной группе за год (dx) при некоторых заданных (наблюдавшихся в недавнем прошлом) коэффициентах смертности. Таблицы смертности разрабатываются демографами. В качестве примера приведем фрагмент такой таблицы (мужчины)[4].

X

lx

qx

dx

20

94774

0,00196

186

21

94588

0,00216

205

22

94383

0,00249

235

....

 

 

 

40

87 779

0,00708

622

41

87 157

0,00770

671

....

 

 

 

60

65 130

0,02871

1783

....

 

 

 

70

43 405

0,05691

2470

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями:

lx+1 = lx - dx; dx = lx x qx,

где dxколичество умерших в течение года после возраста х лет; qx — вероятность умереть в течение года после возраста х лет.

На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему показателей вероятности дожития, необходимую для создания соответствующих страховых аннуитетов. Определим несколько таких вероятностей. Вероятность прожить по крайней мере еще один год лицу в возрасте х лет равна:

Вероятность дожить от возраста х до х + n составляет:

где n — число лет предстоящей жизни.

Пример 6.1. Вероятность двадцатилетнего мужчины дожить до 40 лет составит согласно приведенным в таблице смертности данным

20P20 =  = 0,92619.

По данным таблицы смертности находят и вероятности умереть в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет составит:

qx = 1 - px =, а в возрасте от х до х + п:

nqx = 1 - nPx =

Для сокращения записи страховых аннуитетов и формул, позволяющих быстро получить необходимые расчетные данные, применяют так называемые коммутационные функции (коммутационные числа). Названные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции Dx и Nx:

 (6.1) (6.2)

где v — дисконтный множитель по ставке i;

w — предельный возраст, учитываемый в расчете.

Нетрудно получить еще две функции Nx, которые следует применять в случаях, когда выплаты производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо:

 (6.3) Для платежей пренумерандо:

 (6.4)

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются Сх и Мх:

 (6.5) (6.6)

Примеры коммутационных чисел (т = 12):

x

lx

Dx

Nx

Cx

Mx

20

94774

16910,609

193931,706

202394,583

30,448

897,899

21

94588

15483,872

177021,097

184771,927

30,787

867,451

22

94383

12973,771

147362,624

154459,399

30,449

836,664

.....

 

 

 

 

 

 

40

87779

2794,671

28 878,763

30 284,048

18,167

410,185

41

87157

2545,751

26084,094

27364,985

17,981

392,018

 

 

 

 

 

 

 

60

65130

369,991

2930,070

2760,491

9,745

128,058

....

 

 

 

 

 

 

70

43405

104,156

650,279

602,540

5,438

50,463

Коммутационные числа не следует интерпретировать содержательно. Их, скорее, надо воспринимать как чисто технические, вспомогательные величины. Нельзя забывать и о том, что они существенно зависят от принятой процентной ставки.

 

 

38