yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->2.2.4.2 Поздовжній магнітоопір

Наноелектроника (2 часть)

2.2.4.2 Поздовжній магнітоопір

 

У випадку поздовжнього магнітоопору потрібно повернутися до формули Чемберса (2.58) для густини струму при поздовжньому магнітному полі:

 

,(2.88)

 

де S – нормальна до поля площа поперечного перерізу; ϕ - кут між проекцією вектора швидкості  на нормальну до поля площину (y, z) та фіксованого напряму у цій площині; кут дуги Ψ відповідає проекції на площину (y, z) гвинтової траєкторії електрона.

Таким чином, проблема полягає у тому щоб оцінити підінтегральний вираз, використовуючи лише геометричні міркування. Відомо, що існують тільки дві теоретичні праці, присвячені такому дослідженню тонких плівок, а саме, новаторська праця Кьоніґсберґа [8] і пізніша теоретична праця Као [9].

Згідно з моделлю Кьоніґсберґа (рис. 2.8) для тонких плівок значення dS/S може бути замінене на відповідне співвідношення

 

.   (2.89)

 

Відмітимо, що при фіксованому напрямі (тобто за даним ϕ) величина Ψ збільшується, оскільки траєкторія електронів зміщується вправо. Диференціювання рівняння (2.89) дає

 

                  .                    (2.90)

 

Можна легко довести, що при π < ϕ < dS/S також визначається рівнянням (2.90). Підставляючи (2.90) в (2.91) і беручи до уваги міркування симетрії і той факт, що ми маємо справу тільки з однієї із двох зовнішніх поверхонь, одержуємо співвідношення

 

             ,        (2.91)

де

                    .          (2.92)

 

Рисунок 2.8 – Геометрична модель Кьоніґсберґа [8] при  0 < f  < G

 

Таке інтегрування може бути виконане лише за умови, коли були встановлені граничні умови для Ψ. Через це Кьоніґсберґ розрізняє два випадки: для товстих (а) та тонких (б) плівок:

 

                  ,(а)                               (2.93)

                           .(б)                                       (2.94)

 

Використовуючи геометричні міркування, Кьоніґсберґ показав, що граничні умови у випадку (a)  можуть бути записані так:

 

                        при ,

              при .                   (2.95)

 

Виконуючи інтегрування рівняння (2.92), отримуємо функцію А(θ) у вигляді

 

                ,             (2.96)

де величина ξ може бути знайдена з рівняння (2.42).

Крім того, якщо товщина плівки набуває значення в межах d > 2D, можна показати, що співвідношення для відносної провідності має вигляд

 

      .    (2.97)

 

При k/kr >>1, тобто для товстих плівок, що знаходяться у слабкому магнітному полі, можна дійти до одного з результатів, передбачених теорією ФЗ за відсутності магнітного поля (рівняння 1.44). Отже, провідність товстої плівки не змінюється під дією слабкого магнітного поля, і дія розмірного ефекту магнітоопору зникає.

Для сильних магнітних полів та тонких металевих плівок (тобто при k/kr<<1) рівняння (2.92) може бути переписане так:

                         .                (2.98)

 

Перш ніж зробити висновки з роботою Као потрібно згадати, що у випадку (б), який більш складний і тут не розглядається, граничні умови для ϕ визначаються так [8]:

 

       при ,

                    при .         (2.99)

 

Kao [9] запропонував геометричний підхід, що відрізняється від підходу, розвиненого Кьоніґсберґом. Із урахуванням геометрії, поданої на рис.2.9, бачимо, що косинус дугового кута Ψ дорівнює

                                      ,                        (2.100)

 

а координати точок A(0, z) і B(0, z) пов’язані рівнянням

 

Рисунок 2.9 – Геометрична модель тонкої плівки Kao [9]

 

             .         (2.101)

 

Після нескладних геометричних перетворень можна одержати вираз

 

,     (2.102)

 

де sgn(α) = +1 при α > 0 і -1 при α < 0.

Граничні умови для кута φ можуть бути отримані з рівняння (2.102). Для даної точки A маємо [9]

 

       ,      

, (2.103)

 

хоча при 2D < z рівняння (2.101) не має фізичного розв’язку.

В аналізі Као враховуються тільки електрони, які відбиті від нижньої поверхні, а умова

                                                (2.104)

 

виконується для кожного випадку, коли y ≥ 50, d  ≥ 2Dyz та sinϕ < 0.

Повертаючись до оригінального рівняння (2.88), кінцевий результат може бути отриманий шляхом введення всіх цих умов у підінтегральний вираз. Нобхідно також відмітити, що Kao розрахував також провідність плівки. Найцікавіший результат полягає у тому, що питомий опір зменшується зі збільшенням напруженості магнітного поля після початкового максимуму. Kao пояснив таку поведінку припущенням, що для сильних магнітних полів траєкторія електрона стає настільки вигнутою, що електрон не може дзеркально розсіятися на зовнішніх поверхнях.

 

 

12