yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->2.2.5 Софістичні моделі для гальваномагнітних ефектів

Наноелектроника (2 часть)

2.2.5 Софістичні моделі для гальваномагнітних ефектів

 

Деякі дуже складні теоретичні описи гальваномагнітних ефектів у тонких плівках були запропоновані Канером [37], Кириченком та ін. [38], Лі та ін. [39]. Особливу увагу звернемо на фізичні аргументи з відповідними граничними умовами, що використовуються для більш точного опису розмірних ефектів, ніж це роблять класичні теорії.

Праця Канера [37] була присвячена дослідженню гальваномагнітних ефектів у металевих плівках при постійному магнітному полі B та врахуванні закону дисперсії часу релаксації електрона τ0 (час релаксації τ0 - функція електронного імпульсу, яка перетворюється у рівняння Лоренца).

По-перше, необхідно згадати, що у випадку сильного магнітного поля Займан [l] відзначив, що електрони можуть пройти кілька повних колових траєкторій у магнітному полі перш ніж розсіятися. За цих умов зручно замість того, щоб розглядати магнітне поле як причину зміни стану електрона, як це враховується у рівнянні Больцмана, необхідно розглядати магнітне поле як причину зміни кінематичних властивостей електронів, а потім уже вивчити ефекти розсіювання. При такому підході, як правило, вводиться "фазова змінна" θ, що визначає точку знаходження електрона на його орбіті у просторі K, тобто

 

                           ,                           (2.105)

 

де ωН – циклотронна частота і ʋ – компонента швидкості електрона, перпендикулярна до магнітного поля.

При поверненні до рівняння Лоренца легко побачити, що

                                     .                                (2.106)

 

У цьому випадку рівняння Больцмана, що тепер описує вплив магнітного поля на фазову змінну, має простий вигляд:

 

                       .                  (2.107)

 

Потрібно зазначити, що розв'язок цього рівняння вимагає знання періодичності траєкторій електронів, для яких орбіти у просторі K близькі. Для відкритих орбіт ситуація трохи складніша.

Цей формальний кінетичний аналіз використовувався Kанером для запису рівняння Больцмана у випадку тонких плівок у вигляді співвідношення

                   .          (2.108)

 

Передбачається, що граничними умовами керує дифузне розсіювання електронів на зовнішніх поверхнях так, щоб

 

             ,  (2.109)

 

а періодичність у відхиленні розподілу F1 має відношення до періодичності 2π фазової змінної θ. Kанер запропонував застосувати лапласівські перетворення функції

 

                                       (2.110)

та

                                (2.111)

 

для одержання загального розв'язку (2.108), який задовольняє граничні умови (2.109).

Беручи до уваги залежність поля  від координати z, можна відразу одержати рівняння

 

                          (2.112)

 

У відповідності до попереднього кінетичного аналізу Чемберса [47], періодичний розв'язок має вигляд

         (2.113)

 

Зауважимо, що граничні умови можуть бути записані так:

 

                                           (2.114)

 

Після деяких складних математичних перетвореннь знаходимо

 

          , (2.115)

 

де момент t(z, θ) – корінь наступного рівняння

 

       з .   (2.116)

 

Для знаходження ефективного тензора провідності, Kанер оцінив функцію розподілу електронів F1  залежно від СДВП. Необхідно зробити деякі пояснення щодо отриманих результатів у випадку поперечного магнітного поля Bz, де компонента швидкості ʋz не залежить від θ. Якщо умова (ωНτ0)-1<< 1 задовольняється, то компоненти ефективного тензора провідності можуть бути знайдені у вигляді

           ,              (2.117)

                  ,               (2.118)

                                                                                          , (2.119)

 

де σ0 – провідність за відсутності магнітного поля. Таким чином, здається, що розмірний ефект величин σхх та σ0ху  передбачається теорією ФЗ. Відзначимо також, що випадок слабкого магнітного поля не розглядається, оскільки Займан запропонував застосовувати аналіз Канера головним чином при сильних полях.

Кириченко та ін. [38] досліджували гальваномагнітні ефекти у тонких металевих провідниках, припускаючи, що коефіцієнт дзеркальності p залежить від кута падіння θ носіїв струму на зовнішні поверхні. Оскільки амплітуда коливань Зондгеймера у плівках, що знаходяться в магнітному полі, залежить від коефіцієнту дзеркальності p, автори розрізняли дві групи електронів:

І – електрони, швидкість яких спрямована уздовж магнітного поля, при куті падіння θ;

ІІ – електрони, траєкторії яких в об’ємі зразка екстремальні.

Для визначення розмірного ефекту в магнітоопорі Кириченко та ін. дотримувалися лінії попереднього аналізу та запропонували таке рівняння Больцмана:

 

                ,               (2.120)

де t – час руху електрона по орбіті у магнітному полі. Функція F* відрізняється від функції відхилення F1 лише фактором .

Граничні умови можна записати як

 

                     ,           (2.121)

 

де  – точка на зовнішній поверхні, а W() розцінюється як повторно нормований хімічний потенціал, що визначається за умови, коли через поверхні не проходять електричні струми.

На основі попереднього кінетичного аналізу ці автори одержали

 

(2.122)

 

де F – довільна функція, що може бути визначена з граничних умов; t1 – момент часу дзеркального розсіювання електрона на поверхні, що визначається так:

 

                              .                        (2.123)

 

У випадку поперечного магнітного поля Bz хімічним потенціалом W() у рівнянні (2.121) можна знехтувати. Тоді при застосуванні нових граничних умов функцію F* подаємо у вигляді

                       (2.124)

 

де tj – момент дзеркального розсіювання в точці поверхні .

Тоді, згідно з геометрією задачі  маємо

 

             .         (2.125)

 

При усередненні по товщині плівки при обчисленні повної густини струму потрібно брати до уваги співвідношення

 

             .         (2.126)

 

Усі ці рівняння приводять до дещо складних виразів для компонент тензора провідності [38].

Кириченко та ін. також розглянули випадок магнітного поля паралельного площині плівки, та зазначили, що осциляційна поведінка магнітоопору може спостерігатися лише за наявності незамкнутих орбіт. Вплив на поведінку електронів, що рухаються по незамкнених орбітах, визначається кутом падіння θ на зовнішні поверхні. Рис.2.10 показує траєкторії електронів дзеркально відбитих на поверхнях плівки, що рухаються в -просторі уздовж незамкнених та замкнених орбіт.

Розрахунки були виконані для замкнених і незамкнених орбіт із припущенням, що всі ділянки Kx = const поверхні Фермі відкриті при |Kх| < K1 та закриті при K1 < |Kх| < K. Ці розрахунки виконані також з припущенням, що мають два різних p(θ) на поверхнях плівки. Розрахунки вимагають

Рисунок  2.10 – Траєкторії електронів по моделі Кириченка та ін. [38]: а – реальний простір, б - моментальний або –простір. Пунктиром позначені замкнуті орбіти, а суцільною лінією - незамкнуті

 

складних математичних перетворень, які можна опустити. Однак потрібно зазначити, що Кириченко та ін. дійшли висновку, що, коли електрони проходять по незамкнених орбітах від однієї із зовнішньої поверхонь до іншої, розподіл поля Холла у тонкій плівці залишається надзвичайно неоднорідним.

Модель Лі та Марсочі [39] надзвичайно відрізняється від раніше наведених у цьому підрозділі. Вона полягає у використанні методу інтегрування, що називається методом інтеграла по траєкторії і дає просту числову оцінку магнітоопору та коефіцієнта Холла при довільному напрямі магнітного поля щодо напряму струму. Відхилення розподілу електронів F1 записується так:

 

                .         (2.127)

 

Таким чином, задача звелася до одного, а саме: визначення вектора , який залежить від z-координати, швидкості електронів  і магнітного поля .

Якщо  та  одиничні вектори в напрямах  і , то компоненти в i-напрямку (і = x, y, z) це uʋ і uН. Тоді і-компоненту вектора  можна виразити як

 

           (2.128)

 

де uі – одиничний вектор в i-напрямку та td – час проходження від зовнішньої поверхні до площини z. Тоді тензор магнітоопору pij можна визначити так:

 

.(2.129)

 

Бачимо, що рівняння (2.129) потребує явного вираження часу проходження td як функції просторових змінних. Однак, як показано у роботі [39], ці труднощі можна здолати, виконавши числове інтегрування за часом проходження td замість просторових змінних (θ, ϕ, z). Тільки необхідно відзначити, що для поперечних магнітних полів результати добре узгоджуються із результатами, отриманими у роботах Зондгеймера [3] та Дитлефсена і Лозе [10]. Крім того, осциляційна поведінка магнітоопору вироджується при збільшенні кута між напрямом магнітної індукції поперечного магнітного поля і площиною z.

 

 

 

13