yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->2.3.3 Розмірний ефект поперечних гальвано-магнітних коефіцієнтів

Наноелектроника (2 часть)

2.3.3 Розмірний ефект поперечних гальвано-магнітних коефіцієнтів

 

У випадку полікристалічної плівки рівняння (1.394) виражає середню довжину вільного пробігу λ(θ), коли межі зерен і зовнішні поверхні діють одночасно як ефективні центри розсіювання. Величину λ(θ) точно можна визначити як загальну довжину вільного пробігу, що явно не залежить від x- та y-компоненти швидкості електрона. Отже, не виникне ніяких труднощів, коли теоретичне дослідження впливу меж зерен і зовнішніх поверхонь на коефіцієнт Холла почнеться із тих самих положень, що і у випадку моделі ефективної СДВП.

У світлі попереднього аналізу видно, що при спільній дії прикладного електричних і магнітних полів рівняння Больцмана набуває форми ідентичної рівнянню (2.38). У більш загальному випадку ефективного розсіювання на зовнішніх поверхнях полікристалічних плівок вираз для ефективного часу релаксації τ(θ) має вигляд

 

.   (2.140)

 

Якщо ввести комплексні величини С та E, що були означені у підрозділі 2.1, то отримуємо готовий розв'язок для рівняння (2.39) у вигляді співвідношення

 

                           (2.141)

Вигляд рівняння (2.141) підтверджує припущення, зроблені раніше про незалежність С від ʋх і ʋу.

Густину струму (Jх, Jу, 0) можна визначити за загальною формулою (1.22). А результат визначається при дотриманні наступних класичних аргументів (усі викладки можна подивитися у працях [40 – 42]). Співвідношення для густини струму можна обмежити такими виразами:

 

                           ,                 (2.142)

                           ,                 (2.143)

де

(2.144)

(2.145)

 

У даному випадку b3 і a3 виражаються тривимірними формулами (1.410) і (1.411).

Таким чином, згідно з рівняннями (2.81) і (2.59) відповідності до праці [41] провідність плівки у поперечному магнітному полі можна визначити так :

 

                       ,               (2.146)

тоді як відношення коефіцієнта Холла полікристалічної плівки RНр до коефіцієнта Холла масивного матеріалу RН0 можна записати  у вигляді рівняння

 

                       .          (2.147)

 

Необхідно відмітити, що у випадку, коли μ = ν/(C - 1) (тобто b3=0), можна легко отримати, що σ0fp = (1+С2 v-1), а коефіцієнт Холла RНр = RН0.

Подібно до аналогії, яка існує між відповідними виразами для СДВП полікристалічної плівки, що були отримані з або без урахування поверхневого розсіювання, можна помітити, що якщо коефіцієнт дзеркальності дорівнює одиниці або товщина плівки нескінченна, зерномежова провідність і коефіцієнт Холла також виражаються рівняннями (2.145) - (2.147), у яких нехтуються усі процеси пов’язані з розсіюванням на зовнішніх поверхнях (тобто a3 і b3 замінені відповідно на a3∞ і b3∞).

У магнітному полі провідність та коефіцієнт Холла полікристалічної плівки, які виражаються рівняннями (2.145) і (2.147) відповідно, залежать від розмірів зерен та загальної товщини плівки. Доволі цікаво тепер з’ясувати, як розширення методу ефективної СДВП на зереномежове розсіювання змінить розмірні залежності даних фізичних параметрів.

Як уже зазначалося в розділі 1, за відсутності магнітного поля (рис. 2.12) провідність плівки помітно залежить від коефіцієнта зернистості ν. Крім того, впливом величини B на плівкову провідність можна знехтувати, якщо коефіцієнт зернистості ν набуває значення, менші за одиницю (вставка на рис. 2.12).

Графік залежності відношення RНр/RН0 від зведеної товщини k наведений на рис. 2.13 для деяких типових значень коефіцієнта ν. На вставці рис.2.13 показані теоретичні значення коефіцієнта Холла тонкої полікристалічної плівки при різних величинах магнітного поля. Найцікавіше те, що на відміну від провідності σg коефіцієнт Холла RНg для нескінченно товстої полікристалічної плівки в результаті зереномежового розсіювання помітно не змінюється.

Необхідно прокоментувати деякі результати, що були отримані для залежностей провідності та коефіцієнта Холла з урахуванням зерномежевого розсіювання. Відомо ряд експериментальних праць, у яких вивчаються розмірні залежності питомого опору та коефіцієнта Холла у мідних полікристалічних плівках [20; 35]. У цих працях показано більш значне відхилення від теорії ФЗ для рухливості Холла μН, ніж для значень коефіцієнта Холла. Оскільки плівкова рухливість визначається як σfp∙RHp, попереднє зауваження передбачає можливу розмірну залежність рухомості.

Перейдемо до теорії, що стосується процесів, які відбуваються у монокристалічній плівці у поперечному магнітному полі. Дане явище можна розглянути з точки зору двовимірної моделі та описати згідно з моделлю ефективної СДВП відповідним рівнянням (1.375) так, щоб безпосередньо можна було застосовувати попередню процедуру. Навіть немає необхідності повністю виконувати викладки, щоб одержати правильні результати для польової залежності провідності σfm та RHm для монокристалічних плівок. Фактично ці фізичні величини вже були виражені раніше рівняннями (2.146) і (2.147), в яких a3 і b3 були замінені на двовимірні параметри a2 і

 

Рисунок 2.12 – Залежність відносної провідності полікристалічної плівки від зведеної товщини k при p = 0,5 та ξ = 0,l: A - ν = 0,4; B - ν = 1; C - ν = 4. На вставці провідність плівки у магнітному полі B (точніше – ξ) при k(ln (1/p))-1 = 0,08

 

 

Рисунок 2.13 – Залежність RHp/RH0 для полікристалічних плівок від зведеної товщини k при p = 0,5 та ξ= 0,1: A - ν =0,4; B - ν =1; C - ν =4. На вставці подані теоретичні значення RHp/RH0 як функція від польового коефіцієнта ξ

b2 (рівняння 1.373 та 1.380), лише виникла різниця у співвідношенні λ(θ) (див. [41]). На рис. 2.14 показана залежність провідності монокристалічної плівки, що в усіх істотних аспектах подібна до провідності полікристалічної плівки (польова та розмірна залежності). На відміну від провідності результати для коефіцієнта Холла (рис. 2.15) помітно відрізняються від отриманих у випадку полікристалічних плівок.

Двовимірна модель передбачає, що розмірна залежність коефіцієнта Холла зникає при довільних значеннях магнітного поля та товщині плівки, коли коефіцієнт проходження t має значеня, менші, ніж 0,5. Навіть при t = 0,95 розмірні ефекти досить несуттєві, оскільки RHm не

 

Рисунок 2.14 – Залежність відносної провідності монокристалічної плівки від зведеної товщини при слабких полях (ξ = 0,1), p = 0,5 і для різних значень коефіцієнта проходження t. Допускається, що розмір зерен точно дорівнює товщині плівки: A - t = 0,8; B - t=0,9; C - t=1. На вставці показана зміна провідності дуже тонкої монокристалічної плівки

 

Рисунок  2.15 – Залежність RHp/RH0 від зведеної товщини k при слабких магнітних полях (ξ= 0,1) і за умови, що для монокристалічних плівок Dg= d та p = 0,5: A - t = 0,8; B - t = 0,9; C - t = 0,95; D – t = 1

 

відрізняється від RH0 більше ніж на 30 % в дуже великому діапазоні k (0,01<k<10). Урештірешт для монокристалічних плівок зерномежове розсіювання змінює RHm із товщиною не настільки, щоб можна було експериментально помітити різницю у значеннях коефіцієнта Холла для монокристалічної плівки та масивного матеріалу при кімнатній температурі на різних підкладках.

Серед експериментальних результатів, що пов'язані із змінами коефіцієнта Холла з товщиною, тільки кілька парць [20; 22; 24; 25; 29 – 31] стосуються результатів відносно монокристалічних плівок. В усіх інших працях про структуру плівок не повідомлялося, і вона не може бути визначена, оскільки питомий опір не вимірювався.

Спочатку розглянемо експериментальні дані Відлера та Війбаура [24], що стосуються плівок Cu. У цій праці коефіцієнт Холла RH залежить від товщини плівок при Тв = 298 K, тоді як майже не залежить від товщини для плівок, які були отримані при 77 K. Ця особливість може бути пояснена тільки в рамках двовимірної моделі.

Крім того, і поведінка питомого опору плівок, які були отримані при 77 K, також може бути пояснена в рамках двовимірної моделі. Лінеаризована залежність pfd від d [24, рис.8] може інтерпретуватися з точки зору рівняння (1.377), де N(t, p) = 0,55, що дає значення t = 0,9. Таке значення t має фізичний зміст у рамках двовимірної моделі.

У праці Д. Баруа і К. Баруа [25] наводяться результати вимірювання питомого опору та коефіцієнт Холла плівок сурми, отриманих при 298 K. Як відмічається у підпункті 1.3.8.4, ці дані показали добру узгодженість із відомою моделлю. Для суцільних тонких плівок (d>300 Å) коефіцієнт Холла, як виявилося, не залежить від товщини, як це передбачає двовимірна модель. Потрібно також відзначити, що Чаудгарі та Пал [27] досліджували розмірні ефекти коефіцієнту Холла тонких монокристалічних плівок Ві. Згідно з їх оцінкою зміна RHm з товщиною може спричинятися розмірною залежністю концентрації носіїв струму, і, отже, їх результатів недостатньо, щоб оцінити правильність теорії.

 

 

15