yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->3.2.3.1 Теоретичне визначення коефіцієнтів тензочутливості полікристалічних і монокристалічних плівок

Наноелектроника (2 часть)

3.2.3.1 Теоретичне визначення коефіцієнтів тензочутливості полікристалічних і монокристалічних плівок

 

У рамках моделі провідності МШ визначення коефіцієнта тензочутливості починається з рівняння для провідності (пункт 1.3.2):

 

                   ,                (3.91)

 

де σf – провідність плівки; σ0 – об’ємна провідність; F(a) – функція MШ і А(k, p, a) – розмірна функція МШ. Як зазначалося раніше, вони визначаються за співвідношеннями

 

                             (3.92)

                  (3.93)

                   ,             (3.94)

                               .                         (3.95)

 

Логарифмічне диференціювання [22] рівняння (3.91) дає

 

            (3.96)

 

якщо

 

                                 ,                                (3.97)

                                 ,                            (3.98)

                

                                              (3.99)

                

            (3.100)

 

Далі, якщо ввести поздовжню (поперечну) деформацію ε1 2), що виникає у підкладці під дією поздовжнього (поперечного) механічного напруження, у вираз для γˊ0L (γˊ0Т) об’ємного питомого опору і  () об’ємного СДВП, та беручи до уваги плівки рівняння (3.8) - (3.10), отримуємо

 

           

                        (3.101)

            (3.102)

 

Приймаючи для простоти рівняння (3.58) і (3.59) в особливому випадку дзеркального розсіювання електронів на зовнішніх поверхнях дані співвідношення зводяться до вигляду

 

          , (3.103)

            .     (3.104)

 

Коефіцієнти тензочутливості нескінченно товстої полікристалічної плівки γgL та γgТ можна отримати з рівнянь (3.103) та (3.104), враховуючи, що PS=Pf1, оскільки нескінченно товсту плівку можна прирівняти до плівки без підкладки [22].

Спрощені вирази для коефіцієнтів тензочутливості γgL та γgТ  мають такий вигляд1):

                     ,          (3.105)

                        .                  (3.106)

 

1) Автори необгрунтовно вважають, що γgL = γgТ (примітка редактора перекладу).

Також потрібно не забувати той факт, що експериментальні значення γλ0 від’ємні. Коефіцієнт тензочутливості нескінченно товстої монокристалічної плівки також можна визначити з рівнянь (3.103) та (3.104) припускаючи, що PS=Pf1 та α=0, поки Dgd.

Тоді спрощений вираз для коефіцієнта тензочутливості набуває вигляду

 

                          ,                   (3.107)

                                    .                        (3.108)

 

Як зазначалося раніше, ці коефіцієнти тензочутливості ідентичні коефіцієнтам тензочутливості опору монокристала. Узагальнення рівнянь (3.88), (3.89) і (3.90) приводить до таких співвідношень:

 

                               ,                         (3.109)

                                      .                                  (3.110)

 

Вплив середнього розміру зерна на коефіцієнт тензочутливості полікристалічних плівок проілюструвано на рис.3.2.

Для того щоб оцінити вплив розміру зерна на коефіцієнт

тензочутливості монокристалічної плівки, використовувалися рівняння (3.103) і (3.104), що описують провідність монокристалічної плівки при дзеркальному розсіюванні електронів на зовнішніх поверхнях. З рис.3.3 бачимо, що коефіцієнт відбиття R є параметром електропровідності.

Основний результат полягає у демонстрації того, що коефіцієнт тензочутливості зменшується при зменшенні розміру зерна.

 

Рисунок 3.2 – Залежність коефіцієнта тензочутливості тонкої полікристалічної плівки γfpL (а) і γfpT (б) від параметра α (рівняння 3.95) у випадку повного дзеркального розсіювання електронів на зовнішніх поверхнях:  g= 2,705 (співвідношення 3.98); Pf = 0,4 і PS= 0,25

 

 

Рисунок 3.3 – Залежність коефіцієнтів тензочутливості тонкої монокристалічної плівки γfmL (а) і γfmT (б) від зведеної товщини k=d/λ0 у випадку повністю дзеркального розсіювання на зовнішніх поверхнях при припущенні, що Dg = d і g = 2,705; Pf = 0,4 і PS= 0,25. Коефіцієнт відбиття R є як параметром:  А – 0,1;  B – 0,2;  C –0,3;  D –0,4 і E – 0,5

Залежність коефіцієнта тензочутливості від товщини можна отримати із попередніх рівнянь, але більш просто це зробити, використавши модель ефективної СДВП (підпункт 1.3.1.2) для полікристалічних плівок (індекс p) та моделі ефективного часу релаксації (підпункт 1.3.1.3) для монокристалічних плівок (індекс m).

Використовуючи ту саму процедуру, що наведена вище, і співвідношення для провідності

 

                   ,          (3.111)

            ,   (3.112)

 

легко отримати, що спрощені вирази для коефіцієнта тензочутливості питомого опору мають такий вигляд:

               (3.113)

          (3.114)

та

                                     (3.115)

                                                                 (3.116)

де

                        .                  (3.117)

 

Ці рівняння можна порівняти зі спрощеними співвідношеннями, що були отримані із співвідношень МШ (3.101) і (3.102). У результаті отримуємо

 

                       (3.118)

                          (3.119)

 

Із числових таблиць, наведених у [25], можна відмітити, що чим вище значення α та p, тим краща точність рівнянь ефективних моделей.

Точну оцінку розмірного ефекту в широкому діапазоні товщин, використовуючи співвідношення (3.101) і (3.102) було реалізовано в роботі [25] (рис.3.4).

Помітно, що розмірний ефект більш суттєвий для поздовжнього коефіцієнта тензочутливості полікристалічної плівки.

Рисунок 3.4 – Залежність коефіцієнтів тензочутливості тонкої полікристалічної плівки γˊfmL (а) і γˊfmT (б) від зведеної товщини k=d/λ0 при повному дзеркальному розсіюванні на зовнішніх поверхнях при Dg=d, g = 2,705; Pf =0,4 і PS = 0,25 та приймаючи, що коефіцієнт відбиття R діє як параметр: А – 0,1; B – 0,2; C – 0,3; D – 0,4 і E – 0,5

 

Крім того, розмірні ефекти викликають зміни величини коефіцієнта тензочутливості, які протилежні тим, що були передбачені у рамках моделі ФЗ. Цей факт можна дослідити більш детально шляхом перезапису рівняння (3.113) у такому вигляді:

 

                       (3.120)

 

Із попередніх досліджень (рівняння l.461 і 1.479) можна отримати такі співвідношення:

 

                               ,               (3.121)

                                    .                       (3.122)

 

Беручи значення,  наведені в літературі [17] для ; Pf; PS (1 < -< 1,5; 0 < Pf < 0,5; 0 < PS< 0,8), та враховуючи граничні значення для E[k / f(α)] та g(α) / f(α),

 

                 ,                 (3.123)

            ,     (3.124)

                               ,                             (3.125)

 

можна отримати, що

 

                                      ,                                   (3.126)

                 .         (3.127)

 

Умова (3.124) виконується, коли α <1, тобто при Dg>λ0. У протилежному разі умова (3.123) повністю змінюється на

 

                                 .                    (3.128)

 

Оскільки модель MШ фактично одновимірна (підпункт 1.3.2.1), коефіцієнт тензочутливості, отриманий у її рамках, потрібно ретельно проаналізувати.

Кінцевий аналіз потрібно робити, використовуючи модель провідності [32], у якій внески у питомий опір окремих трьох механізмів розсіювання враховуються окремо (див. рис.1.17, випадок полікристалічної плівки).

Із статистичної одновимірної моделі (пункт l.3.3) легко визначити, що внесок у питомий опір ρf меж зерен, перпендикулярних до напряму електричного поля Fх, становить

 

                            ,                       (3.129)

де

                     ,          (3.130)

                                 .                       (3.131)

 

Внесок у питомий опір ρ׀׀ актів розсіювання електронів, які рухаються паралельно електричному полю, можна отримати, використовуючи модель Котті (підрозділ 1.2.2.2)

 

                         ,            (3.132)

 

де C – функція Котті, визначається співвідношенням

 

                 ,        (3.133)

                                 .                         (3.134)

 

Наближена формула загального питомого опору ρg нескінченно товстої полікристалічної плівки [32] має вигляд

                            ,                    (3.135)

тобто

(3.136)

Виконавши ту саму процедуру, що і для моделі МШ, можна отримати спрощений вираз для коефіцієнтів тензочутливості питомого опору [30; 27]

 

           (3.137)

(3.138)

де

                        ,               (3.139)

                 .         (3.140)

 

Числові значення γˊgL і γˊgT були оцінені для випадку, коли vx=vy=vz (рис.3.5) [30].

Видно, що значення коефіцієнтів тензочутливості γˊgL і γˊgT дещо зменшуються при зменшенні величини v, тобто коли розсіювання на межах зерен відбувається більш активно. Цей результат цілком близький до результату, отриманого в рамках моделі МШ.

При вимірюванні звичайного розмірного ефекту потрібно мати на увазі розсіювання на зовнішніх поверхнях. Оскільки вісь z перпендикулярна до площини плівки, внесок у питомий опір ρz актів розсіювання електронів перпендикулярно до осі z і до зовнішніх

 

Рисунок 3.5 – Теоретична залежність коефіцієнта тензочутливості нескінченно товстої монокристалічної срібної плівки γˊgL (а) і γˊgT (б) від параметра зернистості v (рівняння 3.131)

 

поверхонь можна визначити з функції Котті при припущенні, виконання правила Маттіссена (тобто коли загальна СДВП становить суму всіх СДВП, що пов'язані з будь-яким розсіюванням).

Тоді параметр vz необхідно замінити на величину z [27], що визначається співвідношенням

 

                                        ,                         (3.141)

де

                                      .                  (3.142)

 

Це дає змогу записати рівняння

 

                                    .                 (3.143)

 

Тоді повний питомий опір полікристалічної плівки виражається співвідношенням

             (3.144)

 

і диференціальна зміна величини ρf визначається рівнянням

 

          (3.145)

де                           ,                              (3.146)

                                 .                             (3.147)

 

Тоді спрощенні вирази для коефіцієнта тензочутливості можна записати у такому вигляді

 

        (3.148)

       (3.149)

 

Для зручності коефіцієнти γˊgL і γˊgT визначаються співвідношенням

 

                                    ,                               (3.150)

                                    .                              (3.151)

 

Зрозуміло, що γˊgL і γˊgT – асимптотичні значення коефіцієнтів тензочутливості для дуже великих товщин.

Рис.3.6 дає уявлення про залежність від товщини зведених коефіцієнтів тензочутливості γˊfpL γˊgL та γˊfpT γˊgT, у припущенні, що зерна мають кубічну форму (vx=vy=vz=v).

За рис. 3.6 можна відзначити кілька особливостей:

1.        Розмірний ефект менш виражений за наявності у плівці меж зерен (крива за моделлю Котті відповідає випадку відсутності меж зерен).

2.        Розмірний ефект призводить або до збільшення, або до зменшення коефіцієнтів тензочутливості залежно від значень коефіцієнта зернистості.

3.        Унаслідок протилежної поведінки розмірного ефекту можна передбачити, що він зникне при будь якій довільній товщині для даного значення коефіцієнта зернистості.

4.        У випадку монокристалічної плівки для визначення коефіцієнта тензочутливості можна використовувати той

 

Рисунок 3.6 – Теоретична залежність зведених коефіцієнтів тензочутливості тонкої полікристалічної срібної плівки γˊfpL γˊgL (а) та γˊfpT γˊgT (б) від розмірного коефіцієнта μ (рівняння 3.142), за умови що коефіцієнт зернистості v діє як параметр: A – 0,4; B - 1; C – 4. Пунктирна лінія (E) відповідає моделі Котті (отримана для нескінченно великих значень v)

 

самий метод. Провідність монокристалічної плівки можна подати у вигляді співвідношення

 

             (3.152)

Отже,

          (3.153)

      (3.154)

 

У випадку товстих плівок vx, vy та μ беруть нескінченні значення, які можна записати, так:

 

            (3.155)

та

                            .                   (3.156)

 

Рис.3.7 демонструє розмірний ефект γˊfmL і γˊfmT у припущенні, що vx=vy=v та Dgx=Dgy=d.

Також можна відмітити подібні особливості:

1.        Розмірний ефект більш помітний за наявності меж зерен (крива згідно з моделлю ФЗ отримана при t = 1).

2.        Розмірний ефект більш помітний для поздовжнього коефіцієнта тензочутливості, ніж для поперечного.

3.        Для монокристалічних плівок зміна коефіцієнтів тензочутливості більша, ніж для полікристалічних плівок (рис.3.5).

 

 

27