yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->2.2 Вплив поверхневого розсіювання електронів

Наноелектроника (2 часть)

2.2 Вплив поверхневого розсіювання електронів

 

Перший точний аналіз поверхневого розсіювання за наявності поперечного магнітного поля з розв'язку рівняння Болцмана, був запропонований Зондгемером [3]. У той самий рік Чемберс [7] запропонував кінетичний метод для вирішення проблеми транспортних властивостей тонких плівок, що знаходяться під дією поздовжнього магнітного поля. Халперн [14] і далі Котті [15] показали, що у випадку поперечної конфігурації метод середнього вільного пробігу електронів може використовуватися для одержання аналітичного розв'язку рівняння Больцмана. Повний і більш точний аналіз був зроблений Тельє та ін. [16].

2.2.1 Розв’язок рівняння Больцмана: поперечне магнітне поле

 

Аналіз Зондгеймера полягає у розширенні теорії Фукса, що обмежується вивченням провідності тонкої металевої плівки за відсутності магнітного поля. Класичний метод Зондгеймера [3] пов'язаний із металевими плівками (з поверхнями, розташованими в z=0 та z=d), що знаходяться в електричному полі (Eх, Eу, 0) і поперечному магнітному полі (0, 0, B). Як правило, час релаксації τ0, що залежить тільки від абсолютної величини хвильового вектора , визначається у рамках моделі квазівільних електронів. Нехтуючи членами добутку, що містять  з F1(), і у відповідності до процедури, визначеної у попередньому пункті (рівняння (2.2) і (2.4)), хвильове подання функції розподілу F(, ) має вигляд

 

                           .               (2.16)

 

Враховуючи величину, пов'язану із просторовим вектором ,  (див. Розділ 1), яким можна знехтувати у рівнянні (2.4), що стосується лише ізотропного масивного зразка, рівняння Больцмана в ізотермічних умовах може бути нарешті виражене як

 

                        (2.17)

де (ʋx, ʋy, ʋz) – швидкість вільного електрона.

Розв'язок цього рівняння дає

 

                    ,           (2.18)

 

де С1 і С2 – функції від ʋz, z і ʋ, але не явно від ʋx і ʋy.

Підставляючи рівняння (2.18) у (2.17), можна отримати систему двох рівнянь із двома невідомими функціями С1 і С2 :

                  ,            (2.19)

                  .          (2.20)

 

Ця система рівнянь може бути легко розв’язана шляхом використання комплексних величин:

 

                                ,                             (2.21)

                                .                               (2.22)

 

Тоді можна одержати одне рівняння

 

                     ,             (2.23)

 

де D – радіус ларморівської орбіти електрона, що переміщається в магнітному полі B :

 

                                   .                                   (2.24)

 

Легко помітити, що рівняння (2.23) для загального розв'язку має вигляд

              (2.25)

 

де F() – довільна функція швидкості електронів  (див. розділ 1), визначена граничними умовами. У більш загальному випадку часткового дзеркального розсіювання на зовнішніх поверхнях теж потрібно дотримуватися принципів,  що були застосовані для попереднього аналізу при визначенні граничних умов F1. Наприклад, на поверхні z = 0 отримуємо

 

                  ,             (2.26)

 

де F+ та F- мають такі значення (див. пункт 1.2), що виконується умова

 

                .   (2.27)

 

Коли функції С1 і С2 не залежать від ʋx і ʋy, два доданки в дужках можна прирівняти до нуля, тоді остаточно отримуємо граничні умови у вигляді

 

                     ,     (2.28)

                       .         (2.29)

 

Аналогічно попередньому рівнянню кінцевий вираз для С (див. розділ 1, (1.41) і (1.42)) можна записати за умови, якщо взаємний час релаксації 1/τ0 замінити на величину τ0-1[1+j(υτ0/D)].

Густина струму (Jx, Jy, 0) може бути розрахована на основі формули (1.17) так, щоб

 

         ,       (2.30)

         .       (2.31)

 

Інтегрування у сферичних координатах комплексної загальної густини струму J=Jх - jJу приводить до співвідношення

 

                           ,                 (2.32)

 

де F(k, p) – функція ФЗ і k – комплексна змінна, що пов'язана із зведеною товщини k через

 

                                .                          (2.33)

 

Котті [17] запропонував дещо інше розв’язання рівняння Больцмана (2.17). Враховуючи, що tanφ=ʋy/ʋx рівняння (2.17) може бути переписане до вигляду

 

                      (2.34)

 

Його розв'язок можна подати у формі

                 (2.35)

 

Такий розв'язок дуже схожий на рівняння (2.18) - (2.20), що за аналогією може бути написане в компактній формі (2.21). Перевага подання розв'язку рівняння Больцмана у формі (2.35) полягає у більшій правильності цього розв'язку. Згідно з Котті [17], щоб перевірити загальний вигляд (2.35),  досить враховувати лише ті електрони, що потрапляють і відбиваються від поверхні зразка. Це означає що тільки залежність від кута φ повинна залишатися інваріантною поверхневому розсіюванню.

За аналогією до аналізу Котті транспортних властивостей за відсутності магнітного поля можна одержати аналітичний вираз для густини струму тонких плівок, що знаходяться у поперечному магнітному полі. Близько до того, що запропонував Котті [18], Халперн запропонував розв'язок для розподілу електронів, коли магнітне поле перпендикулярне до площини плівки [14]. На жаль, ні про яку математичну оцінку густини струму не повідомлялось крім особливого та дуже простого випадку зникаючого магнітного поля. У цілому, Котті [15] подав теорію Халперна еквівалентно даній моделі. Він обґрунтував необхідність використовувати метод СДВП за наявності поперечного магнітного поля тим, що для даної лінійної моделі провідність плівки якісно не змінюється під впливом гвинтового руху вільних електронів. Крім того, оскільки Котті [15] не дав загального формулювання густини струму, то необхідно підсумувати результати, отримані Тельє та ін. [16] у рамках методу ефективної СДВП. Потрібно згадати, що під час відсутності магнітного поля розмірний ефект може розглядатися методом Котті [18], який встановлює, що ефективна довжина вільного пробігу описує одночасну фонове та зовнішнє поверхневе розсіювання (див. підпункт 1.2.2.2.)

 

                           ,             (2.36)

 

тобто ефективний час релаксації виражається так

 

                                   .                         (2.37)

 

Оскільки розсіювання на зовнішніх поверхнях враховується у рівнянні (2.37), розподіл електронів можна отримати із рівняння Больцмана (2.4), в якому τ0 замінено на τ(θ), у наступному вигляді:

 

                     (2.38)

 

Зауважимо, що в цьому випадку функції С1 і С2 залежать тільки від ʋ і ʋz та при введенні комплексних величин C і E рівняння (2.38) набуває форми

 

                           .                 (2.39)

 

Основний розв'язок рівняння (2.39) має такий вигляд:

                     (2.40)

 

у якому враховується, що ʋzcosθ і для зручності використані такі позначення:

 

                                                          (2.41)

та

                                   .                                (2.42)

 

Повна густина струму в напрямах x та y може бути знайдена за формулами (2.30) і (2.31). Використання полярних координат у просторі ʋ і інтегрування за ʋ після деяких перетворень дає

 

                           ,                 (2.43)

                           ,                (2.44)

де

 

(2.45)

та

                (2.46)

 

а σ0  – загальна провідність(σ0=ne2λ0/), яка не залежить від B.

Аналітичний вираз для провідності тонкої плівки, що знаходиться під дією поперечного магнітного поля  у площині плівки, було запропоновано Макдоналдом і Сарджинсоном [6]. Далі Дитлефсен і Лозе [10] запропонували інший розв’язок рівняння Больцмана. Однак математичне обчислення у цьому випадку ускладнюється тим, що магнітні і електричні поля створюють поле Холла ЕН у напрямку z, який не буде постійним по всій товщині плівки. Тому у даному пункті обмежимося лише введенням фізичних аргументів, що необхідні для вирішення проблеми.

У працях [6; 10] поле Холла ЕН у загальному випадку записують як

 

                                ,                         (2.47)

 

де EН0 – поле Холла у масивному металі, а EН(z) – поле Холла в тонкій плівці. Тепер у випадку конфігурації 3 рівняння Больцмана набуває вигляду

 

(2.48)

 

де – елемент тілесного кута.

Звернемо увагу на те, що Макдоналд і Сарджинсон так само, як Дитлефсен і Лозе, щоб врахувати зміни в розподілі електронів через зіткнення, ввели додаткову величину (-F1/τ+1/4πτ∫∫F1dω) (у цьому випадку величина τ – імовірність того, що електрон зазнає зіткнення за одиницю часу).

Використання полярних координат ʋх=ʋsinθ′sinφ′ та ʋy=ʋcosθ' дає змогу за аналогією до роботи [6] записати відхилення розподілу електронів у вигляді

 

                .          (2.49)

 

Після деяких обчислень отримуємо

 

(2.50)

 

де λ=ʋτ.

Надлишок густини електронів у точці на висоті z визначається як

 

,   (2.51)

 

а застосування рівняння Пуасона приводить до виразу

 

                        .              (2.52)

Підстановка рівняння (2.52) у (2.50) дає кінцеву форму рівняння Больцмана

(2.53)

 

де константа D = h3/32 (πeλm)2ʋ.

Розв’язання рівняння (2.53) настільки трудомістке, що не дозволяє знайти простого розв’язку. Детальніше це описано в роботах Макдональда і Дитлефсена та Сарджинсона або Лозе. А ми тільки запишемо граничні умови:

1. Дифузне розсіювання на зовнішніх поверхнях [6; 10].

2. Зникаюче додаткове поле Холла EН(z) на зовнішніх поверхнях [6].

Відзначимо також, що аналіз Дитлефсена і Лозе відрізняється, по суті, від аналізу Макдоналда і Сарджинсона тим, що ці автори не знехтували додатковим полем Холла EН(z) для обговорення впливу  на електричний струм.

 

 

6