yandex rtb 1
ГоловнаЗворотній зв'язок
yande share
Главная->Різні конспекти лекцій->Содержание->4.2 Основні відомості про закони розподілу випадкових величин, що використовують у технології машинобудування

Технологія машинобудування

4.2 Основні відомості про закони розподілу випадкових величин, що використовують у технології машинобудування

 

      Основними об’єктами використання методів математичної статистики у технології машинобудування є дослідження точності розмірів, форми та взаємного розміщення поверхонь, їх шорсткості, твердості тощо, а також контроль за ходом технологічних процесів.

      Для різних умов виконання технологічних операцій, різних показників точності і первинних похибок обробки використовують різні математичні закони. Найчастіше при цьому використовують такі:

- закон нормального розподілу (Гаусса);

- закон рівнобедреного трикутника (Сімпсона);

- закон ексцентриситету (Релея);

- закон рівної імовірності;

- композиції з цих законів.

 

Закон нормального розподілу (Гаусса)

      Чисельні дослідження професорів А.Б. Яхіна, А.А. Зикова, Н.А. Бородачева довели, що цьому закону підпорядковані розподіл дійсних значень розмірів обробки заготовок із точністю 8-го і більш грубих квалітететів, маса заготовок, твердість поверхонь, їх шорсткість тощо.

      Цей закон двопараметричний, тобто характеризується двома параметрами:

- lсер - середнє значення параметра, що підлягає дослідженню, у партії виборки при експериментальних дослідженнях (математичне очікування для теоретичної кривої закону);

- σ - середньоквадратичне відхилення параметра, що підлягає дослідженню, у партії вибірки, від середнього значення (від математичного очікування для теоретичної кривої закону).

Рівняння, що описує цей закон, має такий вигляд:

,                                                  (4.1)

 

де li – дійсне значення параметра, що підлягає дослідженню у і-го виробу партії вибірки при експериментальних дослідженнях.

      Середнє значення параметра lсер, що підлягає дослідженню, визначається за формулою

,                                            (4.2)

де N - обсяг вибірки при експериментальних дослідженнях.

Середньоквадратичне відхилення від середнього значення σ визначається за формулою

 

.                                                 (4.3)

 

Крива, що характеризує закон Гаусса, має шатроподібну форму симетричну відносно середнього значення lсер (математичного очікування) параметра (дивись рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 – Крива нормального закону розподілу випадкових величин та її характерні точки

Параметр σ – характеризує ступінь розсіювання дійсних значень параметра у вибірці від його середнього значення lсер..

Особливістю нормального закону розподілу (Гаусса) є то, що всі дійсні значення параметра знаходяться у межах ±3σ від lсер.

Тому, чим більше значення σ, тим більший розмір має розсіювання значень параметра 6σ. При цьому із зменшенням значення σ форма кривої стає більш високою. Це досить наочно демонструють наведені на рисунку 4.4. три криві закону нормального розподілу, які мають однакове значення lсер..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.4 – Форми кривих закону Гаусса при різних значеннях σ

 

      З технологічної точки зору крива, для якої σ =1/2, характеризує розкид розмірів після чистової обробки, крива, для якої σ =1 – після напівчистової обробки, а крива, для якої σ =2 – після чорнової обробки.

      Це повністю відповідає поняттю економічна точність, яке характеризує певними квалітетами точності чорнові, напівчистової, та чистові способи обробки.

      Крива нормального закону розподілу має характерні точки перегину при значеннях ±σ та ±2σ. У точках ±3σ крива асимптотично наближується до осі абсцис, обмежуючи практично 100% площини між нею та віссю абцис (дивись рисунок 4.3).

      Ординати для характерних точок перегину кривої закону Гаусса можна знайти за такими формулами (без урахування масштабного фактора): ,           ,          .          (4.4)

 

      Крім цього, властивістю кривої нормального закону розподілу є те, що у межах ±σ знаходиться 68,27% площи, яку вона накриває, у межах ±2σ – 95,45%, а у межах ±3σ – 99,73%. Ця властивість теж використовується при статистичному аналізі точності.

 

Закон рівнобедреного трикутника (Сімпсона)

 

      Цей закон використовують при дослідженні точності розмірів обробки 6-го та 7-го квалітетів [2].

Графічно закон Сімпсона виглядає як рівнобедрений трикутник (дивись рисунок 4.5), розміри якого залежать від двох параметрів lср та σ. Ці параметри визначають за формулами 4.2 та 4.3, але на відміну від закону Гаусса поле розсіювання розмірів ω знаходиться у межах  * σ, тобто  ().

 

 

Рисунок 4.5 - Графік закону Сімпсона

 

      Закон рівної імовірності

 

      Цей закон використовують, якщо розсіювання дійсних розмірів залежить тільки від систематичних змінних похибок (наприклад, від зношення різального інструмента у періоді пропорційного зношення II (дивись рисунок 3.54), а також при обробці за 5-м та 6-м квалітетами точності із використанням методу пробних ходів і промірів.

      За цей період дійсні розміри обробки змінюються від a до b (дивись рисунок 4.6).

       

                       а)                                                       б)

Рисунок 4.6 - Вплив зношення різального інструмента на розмір обробки

 

      У той самий час, за рівні частки часу (рисунок 4.6 а) проходить обробку приблизно одна кількість заготовок  (рисунок 4.6 б), розміри яких рівномірно розподілені у межах від a до b. Для партії заготовок попадання будь-якої з них у будь-який інтервал рівноймовірнісно.

      При обробці за 5-м та 6-м квалітетами точності із використанням методу пробних ходів і промірів досить складно досягати заданої точності при малих значеннях допусків. Тому імовірність попадання розміру у його середнє, найбільше чи найменше значення стає рівноймовірним.

      Графічно закон рівної імовірності має форму прямокутника (дивись рисунок 4.7).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.7 – Графічний вигляд закону рівної імовірності

Параметри цього розподілу визначають за такими формулами [2]:

,            ,     .

 

Закон ексцентриситету (Релея)

 

Закону Релея підпорядковуються, як правило, похибки взаємного розтміщення поверхонь (відхилення від паралельності, перпендикулярності), а також ексцентриситети, овальність та конусоподібність поверхні тощо.

Наприклад, відхилення від співвісності R = (дивись рисунок 4.8а) залежить від значень двох випадкових параметрів х та у, кожне з яких підпорядковується закону Гаусса з параметрами [2]:

Lxсер =Lyсер;    LRсер=0;       σх = σу = σо,

де σо - середньо квадратичне відхилення значень координат х та у.

 

                     а)                                                       б)

Рисунок 4.8 – Відхилення від співвісності двох отворів (а) та теоретична крива закону Релея

 

Закон Релея однопараметричний (дивись рівняння 4.5), а графік  його кривої починається у початку координат, крутий підйом і більш спокійний спад (дивись рисунок 4.8 б):

 

.                                        (4.5)

Із рівняння 4.4 випливає, що імовірність наявності ексцентриситету R=0 теж дорівнює нулю.

Параметри σR та Rсер, а також фактичне поле розсіювання величин, розподіл яких підпорядковуться цьому закону, дорівнює [2]:

Композиції законів

 

Композиції законів, зокрема, Гауса, виникають при одночасному впливі на точність декількох первинних похибок, що підпорядковуються різним законам розподілу або належать до різних класифікаційних груп похибок.

Наприклад, заміна у процесі обробки партії заготовок розвертки викликає систематичну постійну похибку Δсист, що дорівнює різниці діаметрів цих розверток. При цьому має місце зсув середніх значень розміру обробки на величину Δсист (дивись рисунок 4.9).

Рисунок 4.9 – Зміна форми кривої розподілу закону Гауса за наявності Δсист

У цьому випадку розмах значень розмірів для загальної партії обробки дорівнює R = 6σ+Δсист.

      Композиція законів виникає і тоді, коли визначають загальне поле розсіювання розмірів у партії обробки з урахуванням зношення різального інструмента. При цьому зміщення середнього значення розміру може сягнути такої величини, що призведе до появи браку.

 

34